Was soll der gerade Pfeil bedeuten, stetigkeit?
Was meint man damit, dass ich einseitige Grenzwerte habe? Also wenn ich links- und rechtsstetigkeit gegeben habe, an einer Stelle, mache ich dann diesen Geradenpfeil, wie bei 1 und wenn ich nur links- bzw. rechtsstetigkeit gegeben habe, den Pfeil nach unten oder oben?
3 Antworten
Das hier hat gerade nichts mit links/rechtsseitiger Steifigkeit zu tun, sondern einfach nur, ob man sich an x_0 von links oder rechts annähert (die Pfeile bei 2) oder ob man sich von allen Richtungen annähert (der Pfeil bei 1)
Links bzw rechtssetige Stetigkeit ist eine Eigenschaft
Der Links bzw rechtsseitigen Grenzwert ist eine reelle Zahl (falls der Grenzwert existiert)
War nur kurz verwirrt, da der gerade Pfeil bei uns als Abbildungspfeil eingeführt wurde
Es ist in der Mathematik normal und üblich dass ein Symbol mehrere Bedeutungen hat. (Wenn aber klar ist was der Kontext ist, dann ist die Bedeutung jedoch meist eindeutig)
Aber ist das nich tindirekt auch stetigkeit, wenn ich mich von links und rechts annähere ist das doch gleich stetigkeit oder?
Hängt davon ab, ob die Glieder der Folgen, die gegen x gehen sollen, auch gleich x sein dürfen oder nicht. Normalerweise ist dies aber nicht der Fall, deswegen kann es sein, dass die Funktion an der Stelle nicht stetig ist, aber der Grenzwert existiert (der ist aber dann nicht der Funktionswert)
Okay danke dir, haste veilleicht ein Beispiel, wo ich einen Grenzwert habe, der z. B. nur von links doer rechts angenähert wird?
Stetigkeit in dem betrachteten Punkt liegt vor, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht nur existiert, sondern diese beiden Grenzwerte auch noch übereinstimmen!
Z.B. sei f(x) := -1 für x<=0 und f(x):=1 für x>0.
Dann existiert im Punkt 0 der linksseitige Grenzwert (und ist -1) und der rechtsseitige Grenzwert (und ist 1), aber diese beiden Grenzwerte stimmen nicht überein. Daher ist f in 0 nicht stetig.
(Bearbeitung: witzige Überschneidung mit Jangler13)
Stetigkeit in dem betrachteten Punkt liegt vor, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht nur existiert, sondern diese beiden Grenzwerte auch noch übereinstimmen!
Nicht ganz, zusätzlich muss noch gelten dass die Grenzwerte gleich dem Funktionswert an der Stelle sind.
f(x) = 1 wenn x=0
= 0 sonst
Hat zum Beispiel an der stelle 0 sowohl einen links als auch rechtsseitigen Grenzwert die übereinstimmen, f ist da aber nicht stetig
(Es soll ja x_n>x bzw x_n<x für alle n gelten wenn man den einseitigen Grenzwert betrachtet, siehe Bild oben)
Richtig. Das Übereinstimmen des linksseitigen mit dem rechtsseitigen Grenzwert an einem Punkt ist die Bedingung dafür, dass die Funktion in diesem Punkt stetig ergänzbar ist - sofern sie dort noch nicht definiert ist. Das ist in der Tat eine etwas andere Frage als die, ob sie dort stetig ist (die man nur stellen kann, wenn für sie dort bereits ein Wert definiert ist).
Hmm, okay, aber welche Zahl existiert z. B. die nur links. bzw rechts stetig ist?
Z. B. 0 ist ja beides beispiel 1/n und -1/n?
"Der Links bzw rechtsseitigen Grenzwert ist eine reelle Zahl (falls der Grenzwert existiert)"
sorry meinte für linksseitig und rechtsseitig, nicht linksstetig und rechtsstetig
okay danke, aber kennst du einen grenzwert, der nur linksseitig z. B. ist?
da 1/0 nicht definiert ist und man sonst nicht auf 0 kommt, danke dir!
Es hat nichts damit zu tun dass 1/0 nicht definiert ist. 0 ist (normalerweise) keine natürliche Zahl
Wenn du noch zusätzlich willstz dass die Funktion nicht Linksseitig stetig ist (denn sie ist linksseitig stetig) kannst du noch f(0)=1 oder so setzen. Dann existiert der linksseitige Grenzwert immer noch, aber die Funktion ist nicht mehr Linksseitig stetig
Da hat der Dozent schon wieder Formulierungskohl produziert! Gemeint ist:
Ist für jede Folge (x_n), die gegen x_0 konvergiert, die Folge (f(x_n)) konvergent und haben alle diese Folgen (der Bildwerte unter f) denselben Grenzwert, so bezeichnen wir diesen Grenzwert mit
Dein Fragezeichen ist berechtigt.
Da hat der Dozent schon wieder Formulierungskohl produziert! Gemeint ist:
Ist für jede Folge (x_n), die gegen x_0 konvergiert, die Folge (f(x_n)) konvergent und haben alle diese Folgen (der Bildwerte unter f) denselben Grenzwert, so bezeichnen wir diesen Grenzwert mit
Dein Fragezeichen ist berechtigt.
Okay danke, also wenn ich mich von links und rechts annähere, dann den geraden pfeil und wenn nur von links, bzw rechts, dann die anderen beiden Pfeile. (War nur kurz verwirrt, da der gerade Pfeil bei uns als Abbildungspfeil eingeführt wurde)
(Aber ist das nich tindirekt auch stetigkeit, wenn ich mich von links und rechts annähere ist das doch gleich stetigkeit oder?)