Was sind Indikatorfunktionen?

…und warum ist sie in diesem Fall ein Bsp. für eine Bijektion?

Answer 1

[KunXz]

Ich finde das ist etwas unpräzise formuliert.

Es gilt ja

$\left\{0,1\right\}^X\ =\ \left\{f\ ;\ f\ :\ X\ \rightarrow\ \left\{0,1\right\}\right\}\ =\ \left\{\chi_A\ ;\ A\subset X\right\}$

(diese Menge wird ja unter anderem als die Menge aller Abbildung von X nach {0,1} definiert und dies lässt sich über die Indikatorfunktionen gut ausdrücken, siehe ganz rechte Menge)

wobei

$\chi_A\left(y\right)\ =\ 1\ \ \ \ \ falls\ y\in A\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \chi_A\left(y\right)\ =\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ sonst$

jetzt prüfst du erstmal die Injektivität und Surjektivität der Abbildung:

$\left\{0,1\right\}^X\ \rightarrow\ P\left(X\right)\ ;\ \ \chi_A\ \mapsto\ \chi_A^{-1}\left(1\right)$

bezeichnen wir diese Abbildung mal mit psi, dann sieht sie einfach so aus:

$\psi\left(\chi_A\right)\ =\ \chi_A^{-1}\left(1\right)\ =\ A$

(damit lässt sich die Injektivität und Surjektivität einfach zeigen)

nun gilt im Allgemeinen:

Seien X,Y zwei endliche Mengen, d.h. |X|,|Y| < unendlich, dann gilt für die Menge aller Abbildung von X nach Y:

$\left|\left\{f\ ;\ \ \ \ \ f:\ X\ \rightarrow\ Y\right\}\right|\ =\ \left|Y^X\right|\ =\ \left|Y\right|^{\left|X\right|}$

(lässt sich auch recht einfach durch etwas Kombinatorik zeigen)

da wir nun eine Bijektion vorliegen haben, muss die Mächtigkeit beider Mengen gleich sein, damit folgt die letzte Gleichheit bei dir.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium