Was ist die n-te Ableitung von dieser Funktion h(x)=((5*x)*e^(-3*x))?

Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen

Answer 1

[Willibergi]

Schau dir an, was passiert, wenn wir die Funktion ein paar Mal ableiten:

$h'(x) = -5 \mathrm e^{-3x} (3x - 1)$ $h''(x) = 15 \mathrm e^{-3x} (3x-2)$ $h'''(x) = -45 \mathrm e^{-3x} (3x-3)$ $h^{(4)}(x) = 135 \mathrm e^{-3x} (3x - 4)$ $h^{(5)}(x) = -405 \mathrm e^{-3x} (3x - 5)$ $\vdots$

Lässt also vermuten, dass

$h^{(n)}(x) = (-1)^n \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm e^{-3x} (3x - n)$

ist. Das lässt sich per vollständiger Induktion einfach beweisen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 2

[evtldocha]

Ich habe das mal allgemeiner versucht;

$h\ \left(x\right)=a\cdot x\cdot e^{bx}$ $h^{\left(1\right)}\left(x\right)\ =\ a\cdot\left(1+bx\right)\cdot e^{bx}$ $h^{(2)}\left(x\right)=(2ab+ab^2⋅x)⋅e^{bx}$ $h^{(3)}\left(x\right)=(3ab^2+ab^3\cdot x)⋅e^{bx}$ ....

Vermutung:

$h^{(n)}\ \left(x\right)=(n⋅a⋅b^{n−1}+a⋅b^n⋅x)⋅e^{bx}$

Die Vermutung mit vollständiger Induktion beweisen und am Ende: a=5 und b=-3 einsetzen.