Was ist der Unterschied zwischen numerischen und algebraischen Lösungsverfahren?
Hi. Frage steht im Titel. Ich halte am Freitag eine wichtige Mathepräsentation, also ein riesiges Danke im Vorraus!! :)
3 Antworten
Ist z. B. die Lösung einer Gleichung gesucht, wird man durch u. a. Äquivalenzumformungen versuchen an die Lösungen zu kommen, so dass am Ende x=... da steht (algebraisch).
Das ist allerdings nicht immer möglich, dann muss man zu Näherungsverfahren greifen, und sich damit der(den) tatsächlichen Lösung(en) nähern (numerisch).
Beispiele:
3x²+7x-21=0
Hier wird man z. B. die quadr. Ergänzung als algebraisches Lösungsverfahren anwenden
e^(x)+x²-1/e^x=0
hier helfen keine Umformungen, die direkt zu der Lösung führen. Hier wird man sich mit Annäherungen an die Lösung herantasten müssen (z. B. Wertetabelle + Intervallschachtelungen oder Newton-Näherungsverfahren)
Beispiel lineare Gleichungssysteme. Ein algebraisches Verfahren wie das
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren
liefert bei exakter Durchführung und richtiger REchnung innerhalb von einer festen Anzahl von Schritten eine exakte Lösung.
Ein numerisches Verfahren wie z.B. das
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Seidel-Verfahren
liefert in jedem Schritt eine Näherungslösung, die hoffentlich besser ist als die im Schritt vorher (dann "konvergiert" das Verfahren).
Der Vorteil von algebraischen Verfahren ist die exakte Lösung. Ihr Nachteil ist, dass sie häufig sehr aufwändig sind, im schlimmsten Fall eine Menge zusätzlichen Speicherplatz benötigen (das Gauss-Verfahren rasiert Nullen in einer Matrix einfach weg) und sie zusätzlich nicht wirklich numerisch stabil sind (d.h. auf realen Rechnern mit begrenzter Genauigkeit können Rundungsfehler das Ergebnis stark verfälschen).
Daher sind algebraische Verfahren für die Lösung von sehr sehr großen Problemen (wir reden hier von 1 Mio. Unbekannten und mehr) nicht geeignet.
Die numerischen Methoden sind nicht exakt und greifen auf Iterationen und Näherungsverfahren zurück. Außerdem gibt's oft (immer?) keine Variablen. Der Vorteil ist, dass man solches gut in Computern implementieren kann.
Algebraische Methoden sind exakte Lösungsmethoden, die man in der Schule/Uni meistens verwendet. Sie arbeiten stark mit Variablen o.Ä.
Bekannte Beispiele wären z.B. das Lösen von einer Parabelgleichung, also herauszufinden, wo die Nullstellen sind.
Menschen verwenden dazu z.B. die erlernten Lösungsformeln
Computer verwenden dazu z.B. das Bisektionsverfahren.