Was ist der Einheitskreis in der trigonometrie?

Was hat es mit Sinus und cosinus zutun?

Answer 1

[CATFonts]

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit den Wert 1 (ohne Einheit)

Wenn du jetzt Werte für die Winkelfunktionen aus der Liste holst, gehen die z.B. bei den Sinus und Cosinus-Werten ja immer nur von -1 bis +1. Wenn du jetzt eine tatsächliche Aufgabe hast, musst du diesen für einen Radius von 1 berechneten Werte einfach mit dem realen Radius multiplizieren.

Beispiel: du hast eine 4m lange Leiter, die lehnt mit einen Winkel von 20° zur Senkrechten an der Wand. Wie hoch recht die Leiter, in welcher Höhe lehnt sie an der Wand?

Hier schlägst du den Cosinus-Wert nach: 0,93969 und multiplizierst das mit 4m. Die Leiter lehnt in 3,75877 an der Wand.

Comments

[FlyNow]

Wie "Wert"? Rin Kreis hat keinen Wert. Sag doch einfach Radius, dann wird das auch sofort viel verständlicher was das mit sin und cos zu tun hat.

[Halbrecht]

@FlyNow

1. Radius hat eigentlich nix mit sin oder cos zu tun , weil r in den Brüchen nicht vorkommt.
2. Eigentlich will hier wohl gesagt sein, daß man sich die Länge als 1 denkt ( definiert ) egal wie lang die Strecke real auf dem Papier ist.

[FlyNow]

@Halbrecht

1. Im Einheitskreis hat der Radius eine ganze Menge mit dem sin und cos zu tun.

2. Ja das kann schon sein, die 1 muss keine Einheit haben, trotzdem kann ein Kreis keinen Wert haben. Man muss schon definieren WAS am Kreis diesen Wert hat.

[Halbrecht]

@FlyNow

ich bezog mich auf die definitionen : sin = ank / hyp. da kommt kein r vor.

zu 2. stimmt . das habe ich wohl dazugedichtet . Einen "Wert" gibt es im Kreis nicht.

Vielleicht ist der FS Österreicher oder gar Schwyzer ? :))

Answer 2

[mihisu]

In der Mathematik ist der Einheitskreis der Kreis, dessen Radius die Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

Am Einheitskreis kann man recht leicht die Funktionswerte der Sinus- und der Kosinusfunktion veranschaulichen.

In rechtwinkligen Dreiecken gilt:

Kosinus = Ankathetenlänge/Hypotenusenlänge

Sinus = Gegenkathetenlänge/Hypotenusenlänge

Betrachte nun einen Punkt (x|y) auf dem Einheitskreis. Man kann einen Winkel zur positiven x-Achse definieren, den ich in der nachfolgenden Skizze mal mit φ bezeichnet habe.

Man kann ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck erkennen. Die Ankathete des Dreiecks (bzgl. dem Winkel φ) entspricht der x-Koordinate des Punktes (x|y). Die Gegenkathete (bzgl. dem Winkel φ) entspricht der y-Koordinate des Punktes (x|y). Die Hypothenuse entspricht dem Radius des Einheitskreises, welcher gleich 1 ist. Es ist in solch einem Fall also ...

cos(φ) = x/1

sin(φ) = y/1

Da die Hypotenusenlänge hier 1 ist, erhält man also einfach ...

x = cos(φ)

y = sin(φ)

Dementsprechend sind die cos- bzw. sin-Werte am Einheitskreis recht leicht wiederzufinden. Wenn man einen Punkt auf dem Einheitskreis betrachtet, der einen entsprechenden Winkel φ bzgl. der positiven x-Achse aufweist, so ist die x-Koordinate gleich cos(φ) und die y-Koordinate gleich sin(φ).

Answer 3

[Halbrecht]

sinus und cosinus ( und tangens und cotangens)

sind Funktionen eines Winkels.

heißt

einem Winkel wird eine Zahl zugeordnet.

und zwar egal wie groß das Dreieck ist 

in dem der Winkel liegt

sinus zb ist das Verhältnis von 

Gegenkathete zu Hypotenuse

Und den Zahlenwert, der zu einem Winkel gehört , kann man in einem Kreis von dem man sagt , er habe den Radius 1 , ablesen.

Dabei ist auch wieder egal wie groß man diesen Kreis tatsächlich zeichnet , ob der Radius 4 , oder 10 oder 1 cm ist . 

Man tut so , als hätte der Radius die Länge = Einheit 1.

Hier im Bild könnte der Radius real zb 5 cm sein

Man misst die rote Strecke zb als 4 .

Dann weiß man , dass der Sinus des Winkels alpha

4/5 = 0.8 ist 

Wäre der Kreis 12 cm im Radius , würde man die rote Strecke mit 9,6 cm messen.

Die anderen drei Winkelfkt. kann man auch in diesem Einheitskreis darstellen.

PS: Überlege mal , wie lang die rote Strecke wird , wenn alpha immer größer wird.

Answer 4

[RIDDICC]

1. im Einheitskreis ist der Radius Eins...
2. das ist ganz toll super, wenn man dort ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnet, dessen eine Ecke der Mittelpunkt des Einheitskreises ist, und deren zweite Ecke auf dem Umfang des Einheitskreis zu liegen kommt, und deren dritte Ecke den rechten Winkel hat...
3. dann hat nämlich die Hypotenuse die Länge Eins...
4. yupdeedih
5. das ist schön für Sinus und Cosinus...
6. stümmt's?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Halbrecht]

ich sag nur Eins :stümmt !

[RIDDICC]

@Halbrecht

na und? LOL

und was ist mit Vier?

Answer 5

[WissenVerstehen]

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 1.

Zeichne einen Winkel und miss ihn.

Jetzt miss die Höhe, an der die gezogene neue Linie den Kreisbogen berührt.

Das wäre zum Beispiel der Kosinus deines Winkels in Grad. Wenn du die Strecke mist, hast du den Sinus. (Mit einem auf Grad gestellten Taschenrechner geht das einfacher :P)