Was habe ich von dem Taylor Polynom?
Hey, kann mir jemand kurz beschreiben. was ich von dem Taylor habe.
Ich danke für jede Antwort!
MfG
3 Antworten
Eine unendlich oft differenzierbare Funktion kann an einer Entwicklungsstelle x0 näherungsweise durch ein Polynom (Taylorpolynom) ersetzt werden. Es entsteht ein Rest, also eine Ungenauigkeit, die abgeschätzt werden kann.
Die Einsatzmöglichkeiten sind vielfältig. Z.B. nutzt man diese Möglichkeit in der Ausgleichungsrechnung, um komplizierte Fehlergleichungen für die weitere Bearbeitung in einer bestimmten Umgebung durch lineare Funktionen zu ersetzen.
Der Vorteil liegt darin, dass du mit einem Taylorpolynom einfach rechnen kannst.
Manchmal gibt es in der Praxis Fälle, dass wenn du die mit einer exakten Funktion beschreibst, dass diese Funktion unheimlich unhandlich wird und sowohl auf dem Papier als auch in einer Programmierung Knoten ins Hirn macht.
Nehmen wir als Beispiel eine Funktion, die aufgrund ihrer Herleitung folgendermaßen lautet:
so, und nun sollst du diese Funktion ableiten und du sollst von dieser Funktion durch Integrieren die Stammfunktion bilden. Da hast du ein ganz praktisches Problem.
Viel einfacher ist dagegen das Rechnen mit einer Polynomfuktion
g(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 ......usw.
Die abzuleiten oder zu integrieren ist extrem einfach.
Mit der Tylorentwicklung geht es nun darum, die Funktion f(x) in die Funktion g(x) umzuwandeln und damit viele Probleme zu umgehen. g(x) ist zwar nur eine Näherung, aber den berechnbaren Fehler kann man beliebig klein machen durch den Aufwand, den man bei der Umwandlung betreibt. Speziell wenn man die Umwandlung programmiert, ist es dann überhaupt kein Problem mehr.
Zunächst mal hast du eine Möglichkeit, die Funktion die du in ein Taylorpolynom entwickelst näherungsweise auf ein Polynom zurück zu führen und zwar sogar mit einer passenden Fehlerabschätzung. Weiter liefert der Taylorsche Satz insbesondere für unendlich oft differenzierbare Funktionen eine Fülle an Identitäts- und Grenzwertaussagen. Willst du mehr darüber erfahren, sei dir das Buch von Heuser: Analysis I ans Herz gelegt.
Ein Nachtrag noch: Für die Schule (z.B. für eine Vertiefungsarbeit im LK Mathematik) ist am ehesten interessant, dass man mit der Taylorentwicklung z.B. Fehlerabschätzungen für die numerische Integration konstruieren kann. D.h. man kann für verfahren wie die Trapez- oder die Simpsonregel zeigen, unter welchen Umständen sie konvergieren und wie die Entwicklung des Fehlers ist.