Was gilt für die Determinante einer Projektion?
Ist die Determinante einer Projektion immer 0 oder 1?
Wenn ja warum ist das so? Hat jemand dazu evtl. einen Beweis den ich mir anschauen kann?
(Ich bräuchte den Beweis nur zum Lernen!)
2 Antworten
Eine Projektion ist eine lineare Abbildung, für die P = P * P gilt. D. h. für die Matrix gilt
M(P) = M(P) * M(P)
Damit gilt für die Determinante
det M(P) = det M(P) * det M(P)
Das kannst du umformen zu
det M(P) * (det M(P) - 1) = 0
Und das kann nur für det M(P) = 0 oder det M(P) = 1 richtig sein.
P^2 = P, das geht wenn P die Identität, also die Einheitsmatrix ist, in diesem Fall ist die Determinante 1. In allen anderen Fällen kann P offenbar nicht injektiv sein, bzw. die zugehörige Matrix nicht regulär, also ist dann die Determinante gleich Null.
Man kann das auch an der Gleichung ( det(P) )^2 = det(P) ablesen.