Was bedeutet die Projektion von Vektoren?
Was genau ist es und wofür braucht man es? Bitte einfach erklären (Studienanfänger), danke!
3 Antworten
Stell Dir vor Du ziehst mit einer Seilwinde ein Auto aus dem Schlamm. Die Seilwinde kannst Du nur an einem Baum befestigen. Somit wirkt die Kraft ein wenig schräg und nicht ideal in Fahrtrichtung. Die Seilwinde entwickelt jetzt beispielswiese 1000N Zugkraft. Dadurch dass beispielsweise etwas schräg gezogen wird, sagen wir mal mit 20° Richtungsauslenkung, entfällt in die Fahrrichtung entsprechend weniger Kraft.
1000N * cos(20°) = 940N an
Das heisst man berechnet die Projektion des 1000N Kraftvektors auf die Linie der Fahrtrichtung. Vorstellbar auch als Schattenwurf des 1000N langen Kraftvektors auf die Linie der Fahrtrichtung bei seitlicher Beleuchtung vom Strassenrand aus.
Die Projektion eines Vektors ist im Prinzip die Abbildung eines Vektors auf einen anderen Vektor.
Der dadurch entstehende Vektor steht dann in die Richtung des Vektors auf den Projiziert wurde.
Das kannst du dir in etwa so Vortstellen:
Die Netzhaut selbst ist 2 Dimensional, wenn du also ein Auge schließt wird die 3 Dimensionale Welt auf dein Auge 2 Dimensional Abgebildet.
Du nimmst nun ein Blatt Papier, hällts du es im Rechten Winkel (Parallel zur Netzhaut), wird das "2 Dimensionale Blatt" in der ganzen Größe auf dein Auge abgebildet.
Wenn du das Blatt um die "z-Achse" drehst, wird es in der Abbildung immer kleiner.
Das ist im Prinzip die Abbildung einer Ebene auf eine andere Ebene, bei Vektoren ist das genau so.
Mathematisch ist die Abbildung durch das Innprodukt beschrieben also:
v1 = v*e
Der Skalar v1 ist jetzt die Komponenten von v welche in Richtung e zeigt.
Man kann das auch so schreiben:
v1 = v*e = ||v||*||e||*cos(alpha)
||v|| ist die Länge von v
||e|| ist die Länge von e
und alpha ist der Winkel zwischen den Vektoren.
Der dadurch entstehende Vektor ist also v1*e/||e||.
e/||e|| ist einfach nur die Richtung in welche e zeigt.
Mit Projektion wird aber manchmal der Projektionsvektor gemeint und manchmal auch nur das Innprodukt (Skalarprodukt), also die Länge des Projektionsvektors.
Das das stimmt kannst du wieder mit dem Blatt testen.
Der Cos ist 0 bei 90° somit ist auch das Innprodukt 0. Wenn du jetzt das Blatt im 90° Winkel zur Netzhaut hältst, siehst du nur noch die Kante aber nicht mehr die Fläche des Blattes, somit ist die Abbildung der Blattfläche auf dein Auge im 90° Winkel 0.
Multiplikation mit einer Projektionsmatrix P mit P*P = P.