Warum steigt kinetische Energie quadratisch zur Geschwindigkeit?

schauen wir uns die Herleitung an ;) (Grundlagen der Integralrechnung sind Voraussetzung).

Die Arbeit ist definiert als das Produkt aus Kraft und Weg. Das ist tatsächlich aber nur die halbe Wahrheit.

Zum einen Hängt es von der Richtung ab in die die Kraft wirkt und die Richtung der Strecke. Bei der mechanischen Arbeit handelt es sich also um ein sogenanntes "Skalarprodukt"(ein Begriff aus der linearen Algebra, Vektorrechnung etc.) Das Skalarprodukt ist dabei nur ein Punkt in einem Raum ohne Richtung und mit einem bestimmten Wert ähnlich wie die Temperatur an einem bestimmten Raumpunkt.

Das ist übrigens auch schon der wesentliche Unterschied zum Drehmoment. Denn obwohl beide Größen das Produkt aus Kraft und Strecke definiert sind ist die Richtung doch entscheidend. Denn interessant für das Drehmoment ist der 90° Winkel in dem Kraft und Weg zueinander liegen. Beim Drehmoment handelt es sich um ein sogenanntes "Kreuzprodukt" ist also kein Skalar und damit ein neuer Vektor mit Betrag und Richtung. Die mechanische Arbeit hat keine Richtung. Also nur weil die beiden Größen die gleichen Einheiten und ähnlich berechnet werden wenn wir immer vom Idealfall ausgehen, ist es nicht das selbe.

Für unser Beispiel der mechanischen Arbeit W oder Energiedifferenz ΔE (Beides das gleiche) nehmen wir für die Einfachheit den Idealfall an. Also Kraft und Weg liegen parallel zueinander. Dadurch verschwinden die Vektorpfeile und wir können mit einfachen Werten rechnen um Vektoren soll es hier nämlich eigentlich nicht gehen. Wir erhalten für die Definition der mechanischen Arbeit also das gelernte:

W=F*s.

Das ist sehr schön, wenn F konstant ist. Es gibt jedoch Fälle wo dies nicht der Fall ist. Aber schauen wir uns mal im Graphen an was wir da konkret eigentlich machen.

Wie du siehst ist F*s so als würden wir einfach nur den Flächeninhalt der Grau markierten Fläche berechnen. Ähnlich wie bei einem Rechteck A=a*b nur das unser a ein F ist und unser b ein s ist und das A ist die Arbeit W.

Super. Aber wir sehen bei F=konstant. Das heißt über die ganze Strecke ist die Kraft immer gleich groß. Was ist aber wenn wir nicht immer eine konstante Kraft haben? Also die Kraft sich mit der Strecke ändert:

Das ist nicht mehr F*s. Dieser Flächeninhalt entspricht offenbar dem Flächeninhalt eines Dreiecks. und der Flächeninhalt eines Dreiecks ist ja A=(1/2)*a*b also haben wir für unsere Arbeit (1/2)*F*s.

Ok das war noch einfach ;) was ist aber wenn wir sowas haben?

Tja. Das ist kein Rechteck und auch kein Dreieck. Das ist irgendwas komisches krummes.

Wie kriegen wir davon jetzt den Flächeninhalt, damit wir die Arbeit berechnen können?

Naja. Wir nehmen einfach etwas womit wir rechnen können nämlich Rechtecke. wir versuchen diese Funktion mit ganz vielen Rechtecken nachzubilden. Also ganz viele kleine Rechtecke die wir da rein packen und irgendwie annäherungsweise diesen Flächeninhalt bekommen wenn wir alle summieren.

Dann stellen wir fest, dass wir die Rechtecke nie wirklich sauber da rein packen können und wir immer einen Fehler bekommen aber je kleiner der Fehler wird, desto größer ist auch die Genauigkeit beim Flächeninhalt und genau das ist die Idee.

Was passiert wenn wir... naja... die Rechtecke unendlich klein machen würden? ;) Dann währe auch unser Fehler unendlich klein und dann hätten wir genau den Flächeninhalt und genau das ist die Idee bei der Integralrechnung :D

sieht dann ungefähr so aus:

Die Schreibweise sieht dann wie folgt aus:

W=∫F*ds

das ds steht für die unendlich schmalen Strecken. Das d steht für delta und sagt uns, dass wir uns für sogenannte "Infinitesimal" kleine Streckenänderungen interessieren also unendlich klein. Das kleine d kommt also aus der Infinitesimal Schreibweise. (Newton war übrigens der Begründer der Infinitesimalrechnung aber das nur am Rande).

Die Änderung einer Größe hast du vermutlich mit dem Δ kennengelernt. das d und das Δ sagen also im Grunde das selbe, in beiden Fällen geht es um eine Änderung beim Δ geht es jedoch um endlich kleine Größen.

Bei dem Integral gibt es noch 2 kleine Unterschiede nämlich das unbestimmte Integral und das bestimmte Integral. Das unbestimmte Integral ist im Grunde nichts weiter als die Menge aller Stammfunktionen deren erste Ableitung f(x) ergibt. Wir müssen also in der Lage sein Funktionen aufzuleiten oder abzuleiten. Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an der Stelle X an. Wie wir in dem Bild sehr gut erkennen können ändert sich die Steigung. wir steigen zunähst linear an, dann ändert sich die Steigung ins negative, dann erreichen wir einen Wendepunkt (Rechtskrümmung wird zu einer Linkskrümmung) und steigen dann wieder.

Das bestimmte Integral hat zusätzlich die Integrationsgrenzen also z.b. von X=1 bis X=3. Das heißt wir interessieren uns nur für den Flächeninhalt der zwischen X=1 bis X=3 eingespannt wird. Um das auszurechnen müssen wir also Integrieren und dann die obere Grenze Minus die untere Grenze rechnen.

In unserem Fall ist das Integral aber unbestimmt.

So soviel zu den Grundlagen :D kommen wir nun zur Herleitung

Wir wissen ja jetzt:

W=∫F*ds

Nun substituieren wir erstmal und setzen ein:

F=m*a und

ds=(dv/dt) (Änderung der Geschwindigkeit durch Änderung der Zeit)

wir erhalten:

W=∫m*a*(dv/dt)

für a setzen wir jetzt noch:

a=v/dt wobei sich das dt weg kürzt und es bleibt stehen:

W=∫m*v*dv

Und jetzt brauchen wir nur noch die Stammfunktion bilden :) wie geht das? Hochzahl um 1 erhöhen und vorne durch die neue Hochzahl teilen. Das v ist das gleiche wie v^1 wir haben also eine 1 im Exponenten. dieser wird jetzt um 1 erhöht. Dann haben wir ein v^2 und nun müssen wir noch vorne mit (1/2) multiplizieren bzw den Term durch 2 teilen und das wars schon haben wir es dastehen:

W=(1/2)*m*v^2

Falls dir das mit der Integralrechnung noch etwas zu befremdlich ist gibt es auch noch eine einfachere Möglichkeit sich die Gleichung herzuleiten:

Wir haben wieder die Definition für die verrichtete Arbeit:

W=F*s

wir setzen ein:

F=m*a

W=m*a*s

Die Strecke wissen wir aus den Bewegungsgleichungen:

s=(1/2)*a*t^2

W=m*a*(1/2)*a*t^2

das ist das gleiche wie:

(1/2)*m*a^2*t^2

wir klammer nun aus:

(1/2)*m*(a*t)^2

und wir wissen a*t=v

also haben wir hier stehen:

W oder Ekin=(1/2)*m*v^2

Mir gefällt die Herleitung über die Integralrechnung jedoch mehr, weil ich sie doch wesentlich eleganter finde :)

Eine Frage nach „Warum“ beantwortet die Naturwissenschaft nicht. Sondern nur die Frage nach dem „Wie“. Daher werden Dir die Antworten hier unzufriedenstellend erscheinen. „Warum?“ -> Weil es so ist. „Wie?“ -> siehe Spezifikation über Ableitungen.

Dass das so ist, kannst Du selber überprüfen. Bremsweg bei 200km/h ist der vierfache gegenüber dem bei 100km/h. Weil durch Bremsen die Geschwindigkeit konstant abnimmt, aber der Weg dabei weiter zurückgelegt wird.

Die Antwort auf deine Frage liegt in der klassischen Physik darin begründet, dass man zu Bewegung einer Masse Arbeit aufwenden muss.
Diese Bewegungsarbeit stellt somit kinetische Energie dar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kinetische_Energie

Sie steigt eigentlich nicht nur quadratisch, das gilt nur für relativ niedrige Geschwindigkeiten wie man es von Einstein weiß.

In der Newtonschen Physik folgt das aber aus der Definition von E = Integral F*ds der Kraft F=a*m der Geschwindigkeit dv/dt = a und ds/dt = v.

Weil

dE = F*ds

dE = (m*dv/dt) *ds = m * ds/dt * dv = m*v*dv (denn ds/dt=v)

dE/dv = m * v

=>

E(v) = mv²/2