Warum rollte eine große Kugel weiter als eine kleine Kugel?
Hallo,folgendes Experiment: Zwei Kugeln gleicher Oberflächenbeschaffenheit und gleicher Masse (!), aber unterschiedlicher Größe, rollen von einer gleichen Rampe.Die größere Kugel rollt weiter. Warum?Ich war immer der Ansicht, dass man das mit dem Energieerhaltungssatz widerlegen könnte. Aber da scheint ja irgendwo ein Haken zu sein.Jemand eine Idee? Danke!
17 Antworten
Okay, das Stichwort heißt Trägheitsmoment, was der Beschleunigung entspricht. Dieses hängt von der Verteilung der Masse ab.
Die Formel wäre
J = 2/5 * mr²
(für eine massive Kugel)
Da jetzt die eine einen höheren Radius hat, ist das Trägheitsmoment J größer.
Alternativ kann man davon ausgehen, dass die größere Kugel bei gleicher Masse eine Hohlkugel sein muss, was nach der Formel für die Hohlkugel
J = 2/3 * mr²
machen würde. Folge wäre ebenfalls ein größeres Trägheitsmoment, da 2/3 > 2/5.
Über die Zeit integriert wäre damit auch die Geschwindigkeit höher und erneut über die Zeit integriert damit auch der Weg. Vorausgesetzt, beide starten mit gleichen Bedingungen, sprich, selbe Anfangsgeschwindigkeit und selber Startpunkt.
Hm was ich dir erzählt habe war leider nicht ganz richtig.
J entspricht nicht genau der Beschleunigung sondern fließt in diese mit ein, aber im Nenner:
a = ( mr² / (mr² + J) ) * sin(alpha) g
damit wäre
a = ( 1 / (1 + y) ) * sin(alpha) g
mit y = 2/3 (Hohlkugel), 2/5 (Vollkugel).
Die Beschleunigung hängt also NICHT von Masse oder Radius, sondern nur von der radialen Verteilung der Masse ab.
Der Teil der Energie, der durch Rotation im System gespeichert ist, ist ja nur ein Teil der Gesamtenergie, der andere ist Ekin der translatorischen Bewegung. Die Summe beider ist am Ende der Rampe bei beiden Kugeln wegen der gleichen Höhedifferenz gleich. Daher reicht die Bertrachtung des Trägheitsmoments sicherlich nicht aus.
Jap, war ein bisschen eilig ich hatte das noch aus der Physikvorlesung im Kopf mit der Abhängigkeit von der Massenverteilung und wollte das gleich mal zum Besten geben ;-) Es MUSS ja von anderen Faktoren abhängig sein, da die Beschleunigung in dem Falle ja für die Vollkugel höher wäre, laut Fragestellung aber die Hohlkugel weiter rollt.
Hmm mir fällt gerade nicht der genaue Zusammenhang ein, es hängt auf jeden Fall damit zusammen, dass die größere dann eine Hohlkugel ist. Ich schaue nach wenn ich es finde schreibe ich es dir.
Die Kugel muss nicht hohl sein, es reicht, wenn das Material weniger dicht ist.
Meine erste Vorstellung ist die, dass die größere Kugel sozusagen einen größeren Hebel (Kugelmittelpunkt bis Kugelrand) und damit ein größeres Drehmoment hat. Das heißt es gibt mehr Masse mit einem größeren Abstand zum Mittelpunkt.
Das hat mit dem Trägheitsmoment zu tun... dieses berechnet sich so:
J = 2/5 * m * r²
wie man sieht ist das Moment also abhängig von der Masse(die hier aber gleich ist) und vom quadrat des radiuses.
Also hat eine größere Kugel bei gleicher Masse ein größeres moment und somit rollt sie auch weiter!
Weil sie mehr Masse hat, die länger in Bewegung ist.
Wie kann bei zwei Kugeln gleicher Masse eine eine größere Masse haben?
Warum fährt sich dann ein größeres Laufrad am Fahrrad leichter?
Das klingt schonmal recht gut und selbst bei gleicher Formel für J wäre r ja noch größer und zwar im Quadrat. Da werde ich mal drüber nachdenken. Danke.