Warum kann man den Exponenten beim Logarithmus nach vorne holen?
Frage steht oben, wenns geht bitte mit beweis.
4 Antworten
Am einfachsten einzusehen, wenn Dir das 1. Logarithmen-Gesetz klar ist, nämlich log a • b = log a + log b . Deshalb gilt auch log a • a = log a + log a , also log a² = 2 log a . Ebenso ist log a • a • a = log a + log a + log a , also log a³ = 3 log a , usw.
Hallo, Fragender 320
Auch wenn mir Deine Fragestellung recht diffus erscheint, möchte ich versuchen, dem Problem auf die Schliche zu kommen.
Das Logarithmieren ist EINE Umkehroperation vom Potenzieren. Dazu ein leicht verständliches Beispiel:
10^3 = x
Beim Potenzieren berechnet man die gesuchte Potenz (x), wenn die Basis (10) und der Exponent (3) gegeben sind. Hierbei besteht die Aufgabe darin, herauszufinden, wie groß das Ergebnis (Potenz) ist, wenn man die Basis 10 dreimal mit sich selbst multipliziert. Das Ergebnis lautet: 1000
Beim Logarithmieren berechnet man den Exponenten, wenn die Potenz und die Basis gegeben sind. Von unserem Beispiel 10^3 = 1000 bilden wir die Umkehroperation:
lg 1000 = x
(lg bedeutet dekadischer Logarithmus bzw. Logarithmus zur Basis 10)
Nun stellt sich die Frage so: Wie groß ist der Exponent (x), mit dem die Basis 10 behaftet ist, um die Potenz 1000 zu erhalten, bzw.wie oft muss man die Basis 10 mit sich selbst multiplizieren, um die Potenz 1000 zu erhalten? Das Ergebnis lautet, wie man leicht nachrechnen kann:
lg 1000 = 3
Und nun wieder zurück zu unserer Ausgangsgleichung.
10^3 = 1000
Diese Gleichung formen wir äquivalent um, das heißt, wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung, also:
lg (10^3) = lg 1000 = x
Die Fragestellung lautet jetzt: Wie oft muss die Basis 10 mit sich selbst multipliziert werden, um die Potenz 1000 zu erhalten.
Diese Frage haben wir schon in der vorangestellten Aufgabe beantwortet. Das Ergebnis lautet:
lg (10^3) = lg 1000 = 3
bzw.:
lg (10^3) = 3
Der dekadische Logarithmus der Potenz 10^3 ist 3. So gesehen ist der Logarithmus a einer Potenz mit der Basis a der Exponent dieser Potenz. Dieser Sachverhalt lässt sich allerdings nicht mit Deiner Formulierung "... den Exponenten beim Logarithmus nach vorn ziehen" in Übereinstimmung bringen.
Noch ein Beispiel:
exp(e^4) = ln (e^4) = 4
Ich hoffe, dass ich in etwa Deine Fragestellung erfassen und ein wenig zur Beantwortung beitragen konnte ohne die Tiefen der Algebra versunken zu sein.
MfG
Korrektur
Es heißt natürlich:
"So gesehen ist der Logarithmus zur Basis a einer Potenz mit der Basis a gleich dem Exponent dieser Potenz."
und
ln exp (e^4) = ln (e^4) =4
sorry, hier muss eine neue Brille und eine neue Tastatur her!
Wir nehme hier einen einfachen Logarythmus
log(b)a=x
dazu nehmen wir die dazugehörige Potenz
b^x=a
Wir rechnen hier Beispielsweise das ganze hoch n
(b^x)^n=a^n | das (b^x)^n kann man umformen
(b^x)^n=b^(n*x)
b^(x*n)=a^n | nun nimmt man wieder den Logarithmus zur Basis b
log(b)a^n= n*x
Was fällt jetzt auf?
Wir nehme jetzt das n nach vorne
n* log(b)a= n*x
jetzt haben wir auf beiden Seiten einen Faktor n
Da log(b)a=x richtig sein muss, muss es auch richtig sein wenn wir auf beiden Seiten einen Faktor hinzufügen.
Ich hoffe das ist verständlich.
Das ist eine überzeugende, nachvollziehbare Abhandlung des Sachverhaltes. Ich hatte bei meinen Überlegungen den Wissensstand des Verfassers der Frage verkannt und die Fragestellung zu wenig in Verbindung mit den Logarithmengesetzen gesehen. In meiner Schulzeit war auch die Formulierung "nach vorne ziehen" nicht üblich. Trotzdem nach vielen Jahren recht interessant.
Entscheidend Ihrer folgerichtigen Darstellung ist m.E. aber, dass in Anwendung der Umformregel (Logarithmusgesetz)
log(b)a^n = n * log(b)a
die Aussage
n * log(b)a = n * x
liefert und nach äquivalenter Umformung wieder auf die Gleichung
log(b)a = x
zurückführt, die mit der Ausgangsgleichung identisch ist.
Die Formulierung "...muss es auch richtig sein, wenn wir auf beiden Seiten einen Faktor hinzufügen." scheint mir überflüssig zu sein, weil das lediglich eine äquivalente Umformung ist und selbige in diesem Zusammenhang meiner Meinung nicht zu begründen war.
Könnte man das so stehen lassen? Ihre Meinung dazu würde ich mir gern zugänglich machen lassen.
Danke!
MfG
Im Grunde ist dieses 3. Logarithmengesetz die Umkehrung des 5. Potenzgesetzes.
(a ^ m) ^ n = a ^ (mn)
In der Umkehrung haben wir
log (a ^ n) = n * log a
Im Zusammenhang findest du das alles hier:
http://www.gutefrage.net/tipp/logarithmus-infernalis
Da sowohl log a als auch n Exponenten sind, werden diese multipliziert, um eine Potenz aufzulösen.
Auch nicht ganz unwichtig ist die Austauschbarkeit der Exponenten:
(a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m