Warum kann ich statt sin(2x) auch 2 sinx * cosx schreiben? (Mathematik, Studium)

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

10.07.2016, 17:30

Wir machen einen kleinen Ausflug in die komplexe Analysis und führen die Zahl i ein, sodass gilt: i² = -1. Für Schüler mag es umständlich sein, ein neues Zahlensystem einzuführen, das (augenscheinlich) keinen neuen Nutzen hat, aber wir werden sehen, dass uns die komplexen Zahlen netterweise den ganzen geometrischen Müll vergessen lassen, um den kompletten Beweis durch Umformungen zu führen.

Als nächstes betrachten wir die Exponentialfunktion und sehen durch Betrachtung der Taylorreihe (diesen Schritt lasse ich aus, da ich nicht weiß, was dein mathematisches "Level" ist):

e^(i * x) = cos(x) + i * sin(x).

Aus den Potenzgesetzen wissen wir außerdem: e^(a + b) = e^(a) * e^(b), dieses Gesetz gilt auch in den komplexen Zahlen.

Jetzt bekommen wir:

cos(a+b) + i * sin(a+b)
= e^(i *[a+b])
= e^(i * a + i * b)
= e^(ia) * e^(ib)
= [cos(a) + i * sin(a)] * [cos(b) + i * sin(b)]
= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i * [cos(a)sin(b) + sin(b)cos(a)].
Die letzte Gleichung gibt es durch Ausmultiplizierung.

Da komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn Realteil und Imaginärteil gleich sind (ähnlich wie der Koeffizientenvergleich bei Polynomen, es stellt sich sogar heraus, dass es sogar das selbe ist, aber das irgendwann anders), bekommen wir direkt zwei schöne Gleichungen:

1. cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

2. sin(a+b) = cos(a)sin(b) + sin(b)cos(a)

Betrachten wir die zweite Gleichung und setzen a = b = x, so ist a + b = 2x, und wir bekommen:

sin(2x) = cos(x)sin(x) + sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x).

LG