Warum ist bei der Aufgabe 14 b und c die lokale und die mittlere Steigung gleich? Kann man sich das irgendwie auf Anhieb erschließen?
2 Antworten
Bei einer Geraden ist das nicht wirklich ungewöhnlich...
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
Du hast eine Parabel der Form
ax^2+bx+c
Die Steigung zwischen zwei stellen y und z (y<z) ist:
(f(z)-f(y))/(z-y)
((az^2+bz+c)-(ay^2+by+c))/(z-y) | ausklammern
=(a(z^2-y^2)+b(z-y))/(z-y) | z-y kürzen (3. Bin Formel)
=a(z+y)+b
Dies setzt du nun mit der Ableitung gleich:
2ax+b = a(z+y)+b |-b
2ax = a(z+y) |:a, a ungleich 0
2x = z+y |:2
x = (z+y)/2
Somit ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten einer Parabel immer gleich der Steigung der Sekante des Mittelwerts