Warum gibt es nicht 4 aufeinanderfolgende Zahlen, bei denen das Produkt der kleinsten Zahl und der größten Zahl gleich dem Produkt der beiden anderen ist?
Wir sollten als Hausaufgabe machen, ob es 4 aufeinanderfolgende Zahlen gibt, bei denen das Produkt der kleinsten Zahl und der größten Zahl gleich dem Produkt der beiden anderen ist. Ich habe schon mit meinem Taschenrechner herausgefunden, dass es diese 4 aufeinanderfolgenden Zahlen nicht gibt, aber ich verstehe nicht warum es diese nicht gibt. Leider kann mir mein Taschenrechner auch nicht sagen weshalb das so ist....
5 Antworten
Nenne wir die Zahlen a,b,c,d
Es ist
b=a+1
c=b+1=a+2
d=a+3
Da eben aufeinanderfolgende Zahlen.
Wäre nun das produkt der kleinsten und größten Zahl gleich dem Produkt der beiden mittleren zahlen, dann würde gelten:
a*d=b*c
bzw.
a*(a+3)=(a+1)(a+2)
a^2+3a = a^2+2a+1a+2=a^2+3a+2
oder alles auf eine Seite gebracht:
a^2+3a-a^2-3a-2=0
was vereinfacht das selbe ist wie
(a^2-a^2)+(3a-3a)-2=0
->
-2=0
Was unabhängig von a unmöglich ist bzw. ein widerspruch!
Von daher kann es kein passendes a und entsprechende b,c,d geben, die die gleichung erfüllen.
Nennt sich übrigens beweis per widerspruch, das ganze:
Du nimmst anfangs an, dass es 4 entsprechende zahlen gibt, rechnest ein bisschen rum bis du auf einen widerspruch stößt.
Musst erkennen dass demnach deine annahme falsch sein muss und es keine entsprechende Zahlen geben kann!
a * (a+3) = (a+1) * (a+2)
a² + 3a = a² + 3a + 2
0 = 2
Da 0 nicht gleich 2 ist, gibt es keine solche Zahlen.
Die erste Zeile hatte ich tatsächlich schon, aber ich habs dann einfach mit nem befehl gemacht, anstatt weiterzumachen, aber danke dafür. :D
Sei x die kleinste Zahl, dann müsste gelten:
x * (x + 3) = (x + 1) * (x + 2)
x² + 3x = x² + 3x +2
0 = 2
Dies ist eine immer falsche Aussage, womit es keine solche 4 aufeinanderfolgenden Zahl gibt, die die Bedingung erfüllen.
Die erste Zeile hatte ich tatsächlich schon, aber ich habs dann einfach mit nem befehl gemacht, anstatt weiterzumachen, aber danke dafür. :D
Mach es doch mit Variablen.
z*(z+3) = (z+1)*(z+2)
z^2 + 3z = z^2 + 3z + 2 | -z^2
3z = 3z + 2 | -3z
0 = 2
f.A.
Die erste Zeile hatte ich tatsächlich schon, aber ich habs dann einfach mit nem befehl gemacht, anstatt weiterzumachen, aber danke dafür. :D
sei die erste (kleinste) Zahl = a.
Dann geht's um die Zahlen a, a+1, a+2 und a+3.
So, gefordert wäre
a*(a+3) = (a+1)*(a+2).
Und das müsste man mal ausrechnen (Klammern auflösen und zusammenfassen) und gucken, ob es hierfür irgendein a gibt. Soweit wäre mein Ansatz - ausrechnen darfst du das selber