Wann ist ein Viertel von instabilen Atomkernen zerfallen?
Aus dem Unterricht weiß ich, dass nach einer Halbwertszeit 50% der instabilen Atomkerne zerfallen sind, nach zwei Halbwertszeiten weitere 25% etc... Wann jedoch ist genau ein Viertel der Atomkerne zerfallen und gibt es dazu eine Formel?
4 Antworten
Schauen wir doch mal, ob wir nicht eine Formel finden koennen! Gesucht ist der Anteil a(t), der nach der Zeit t noch nicht zerfallenen Atomkerne. Gegeben ist die Halbwertszeit; nennen wir sie T. Hier zunaechst eine kleine Wertetabelle:
a(0) = 1, a(T) = 1/2, a(2T) = 1/4, a(3T) = 1/8, a(4T) = 1/16 usw.
Soweit klar? Fuer jede Halbwertszeit, die wir abwarten, halbiert sich der Anteil der noch uebrigen Kerne. Warten wir also eine Zeit t, so hat sich die Kernanzahl t/T mal halbiert. Dies fuehrt uns zur Vermutung:
a(t) = 1 / 2^(t/T)
Das ist in der Tat die korrekte Formel - probier doch mal aus, ob die Werte aus der Wertetabelle wirklich rauskommen! Das Nette an dieser Formel ist, dass sie uns auch verraet, was es zu anderen Zeitpunkten als 0, T, 2T, ... passiert - fuer t koennen wir ja jede Zeit einsetzen.
So weit, so gut. Du willst jetzt wissen, wie gross t sein muss, damit a(t) = 3/4 gilt (25% zerfallen, 75% uebrig). Dazu musst Du die Gleichung
3/4 = 1 / 2^(t/T)
nach t aufloesen. Bekommst Du das hin?
Das haettest Du uns auch verraten koennen!! Schreibe die Gleichung als 2^(t/T) = 4/3 und nimm auf beiden Seiten den Logarithmus. Was erhaelst Du?
Wir hatten den Logarithmus noch nicht im Unterricht :/ Trotzdessen erwartet meine Lehrerin dass wir die von mir zuvor gestellte Frage beantworten können
Ohne Logarithmus laesst sich das Ergebnis (bzw. die Formel im allgemeinen Fall) nicht ausdruecken.
Wenn Du einen grafikfaehigen Taschenrechner zur Verfuegung hast, kannst Du die Gleichung vielleicht zeichnerisch loesen lassen.
Wenn die Hälfte nach einer vollen Halbwertszeit verfallen sind, würde ich doch annehmen, dass:
Nach einer halben Halbwertszeit ein Viertel verfallen sind.
Stimmt leider nicht, da es sich bei der Halbwertszeit um eine Exponentialfunktion handelt :/ Trotzdem vielen Dank
Das stimmt leider nicht! Der Zerfall ist nicht linear, sondern exponentiell. Nach zwei Halbwertszeiten sind ja auch nicht alle Kerne zerfallen, sondern eben nur 75% der anfangs vorhandenen...
Ahja, ich sehe gerade in den anderen Antworten, dass es nicht 0.5 sondern ~0,4 Halbwert ... Ich bin wohl schon zu lange aus der Schule ... um angemessen auf manche Mathe-Fragen zu antworten... ;-)
t=0 <==> 100%
t=Halbwertszeit=H <==> 50%
der Restanteil ist dann wohl 0,5^(t/H)
Gegenprobe:
1. t=H ==> 0,5^1 = 50%
2. t=2·H ==> 0,5^2 = 25%
stümmt
0,5^(t/H)=75% nach t auflösen:
ln(75%)=t·ln(0,5)/H
H·ln(75%)/ln(0,5)=t
färtich!
ach so:
ln(0,75)/ln(0,5) ist ungefähr 0,4150374992788438185
kicher
Nach etwa 0.415 Halbwertzeiten
Soweit war ich auch schon, doch bin dann leider daran gescheitert die Formel nach t aufzulösen