Wahrscheinlichkeitsrechnung Single-Choice-Problem?
Guten Abend zusammen.
Und zwar beschäftigt mich folgendes Problem: Wir haben einen hypothetischen Klausurfragenteil, der aus 5 gleichwertigen Wahr/Falsch Fragen besteht. Es ist (Annahme) bekannt, dass die Verteilung der Fragen immer entweder 3W+2F oder 2W+3F ist. Ein Student, der sich nicht auf den Teil der Klausur vorbereitet hat, möchte jetzt eine probabilistisch clevere Entscheidung treffen und wählt demnach z.B alle Antworten als wahr oder alle falsch. Im Mittel müsste er dann ja auf 2,5 richtige Antworten kommen, egal, ob er alle W oder F ankreuzt.
Jetzt meine Frage: Angenommen, der Student ist sich bei einer Frage 100%-ig sicher, dass er die Antwort kennt. Sollte er für die restlichen Fragen das Gegenteil seiner entsprechenden Antwort auswählen (z.B er weiß von einer Frage, dass sie wahr ist und wählt alle anderen als falsch) oder spielt dies in diesem Fall keine Rolle? Intuitiv würde ich tippen, dass er immer das Gegenteil nehmen sollte, aber seitdem ich das Monty-Hall Problem kenne, weiß ich, dass man sich auch gewaltig irren kann. Darüberhinaus, wie würde sich das „optimale“ Vorgehen ändern, wenn nicht bekannt wäre, dass es immer 3W+2F oder 2W+3F ist. Leider kann ich keine Stochastik um die Rechnung selbst zu machen, daher hoffe ich auf eine qualifizierte Antwort.
LG
1 Antwort
Es spielt keine Rolle, denn die Ereignisse sind unabhängig von einander. Das ist dasselbe wie bei einem Münzwurf, wenn dreimal Kopf kommt ist die Wahrscheinlichkeit für den 4. Wurf trotzdem nur 50%
Vereinfachen wir erstmal das Problem, damit es anschaulicher ist, ohne das Ergebnis zu ändern.
Ich habe eine Liste an diesen Multiplichoice Fragen, wobei W für 3xW und 2xF und F für 2xW und 3xF steht. Ein Bespiel könnte so aussehen: [W,W,F,W,F] also bei 3 Fragen waren 3 Wahr und bei 2 3 Falsch. Das Problem könnte ich nun so umformulieren und fragen, wenn ich weiß, das die erste Frage W ist, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite auch W ist? Egal welches Set an Fragen ich nehme, sei es die ersten zwei oder die letzten vier etc. die Wahrscheinlichkeit a priori muss immer 50% sein (wir haben ja nicht mehr Information).
Noch anschaulicher versuchen wir es an einem Konkreten Beispiel, dass es nur 3 Fragen gibt, alle Kombinationen, bei denen die erste Frage W ist lauten:
[W,W,W]
[W,W,F]
[W,F,W]
[W,F,F]
Hier sieht man, dass wenn W die erste Frage ist, danach im Schnitt gleich oft W wie F kommt. Daraus folgt, dass es egal ist, ob ich immer W oder F ankreuze. Des weiteren kann ich sogar bei jeder Frage was unterschiedliches ankreuzen, da jede Frage unabhängig ist von den anderen.
Das Monty-Hall Problem kann hier nicht realisiert werden, denn bei diesem kennt jemand alle Antworten und der Teilnehmer kennt auch die Anzahl an W Fragen, was hier nicht gegeben ist.
Ich hoffe diese Erklärung hilft weiter!
Also ich glaube, dass hier ein Missverständnis vorliegt. Ich habe das Problem wahrscheinlich nicht ausreichend gut beschrieben. Es sind nicht 5 Aufgaben à 3W+2F/2W+3F sondern insgesamt (!) nur 5 Aufgaben von denen z.B. 3 wahr sind und zwei falsch. (Also insgesamt 5 und nicht 25 „Kreuzchen“). Das Problem ist, dass man vor der Klausur nicht weiß, ob man eine Klausur bekommt in der 3W+2F sind oder eine in der 2W+3F sind.
Wenn ich mich jetzt also dazu entscheide alle Antworten als W anzukreuzen, dann habe ich:
Szenario 1: (3W, 2F) 3 Punkte
Szenario 2: (2W, 3F) 2 Punkte
Wenn ich jetzt eine von den 5 Aufgaben sicher weiß, dann habe ich so gesehen den Punkt „sicher“. Jetzt ist die Frage: Wenn die Frage, die ich sicher weiß eine „falsch“-Frage ist, sollte ich dann die restlichen Fragen als wahr ankreuzen oder ist das, wie gesagt, egal? Denn wenn ich hier jetzt eine Tabelle mache, müsste ich ja wieder unterscheiden - befinde ich mich a) in Szenario 1 oder Szenario 2 und b) ist die Frage, die ich wusste eine Wahr oder Falsch Frage…
Den Vergleich mit der Münze verstehe ich leider nicht so recht.
Mal meine Überlegung etwas ausführlicher
Fall 1: Ich bleibe immer bei „alle Antworten wahr“:
Szenario 1 (3W, 2F)
a) Ich kenne eine der wahren Fragen = ich bekomme 3 Punkte
b) Ich kenne eine der falschen Fragen = ich bekomme 4 Punkte
Szenario 2 (2W, 3F)
a) kenne wahre Frage = 2 Punkte
b) kenne falsche Frage = 3 Punkte
Fall 2: Ich wechsle meine restlichen Antworten in Abhängigkeit von der gewussten:
Szenario 1 (3W, 2F)
a) ich kenne eine der wahren Fragen = Ich bekomme 3 Punkte
b) ich kenne eine der falschen Fragen = 4 Punkt
Szenario 2 (!!) (2W, 3F)
a) kenne wahre Frage = 4 Punkte (!!)
b) kenne falsche Frage = 3 Punkte
Das heißt, ich bekäme, für doch in Szenario 2 im Schnitt mehr richtige Antworten, wenn ich das Gegenteil von meiner gewussten Antwort wähle.
Stimmt, ich habe die Frage misinterpretiert, so hast du vollkommen Recht!
Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Antwort darauf so einfach ist. Schließlich handelt es sich ja um ein durch eine konkrete Annahme beschränktes System (nämlich, dass es nur 3xW und 2xF oder 2xW und 3xF handeln kann). Ich habe einmal versucht das ganze zu simulieren, indem ich mir alle möglichen Varianten aufgeschrieben habe. Dabei kam auch heraus, dass es cleverer wäre das Gegenteil der gewussten Antwort zu wählen. Wenn du dir deiner Antwort jedoch sehr sicher bist, wäre ich froh, wenn du das ganze noch etwas konkreter ausführen könntest. Am besten in Form einer Rechnung. Danke :)