Wachstums- und Zerfallsprozesse?

hallooo, könnte mir vielleicht jemand die aufgabe a und b erklären? dankeschööön

Answer 1

[evtldocha]

a) Wachstumsfaktor q

$q=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{33}}=\sqrt[33]{\frac{1}{2}}\ \approx0,9792$

a) jährliche prozentuale Abnahme p (Wachstumsrate)

$q=1+p\ \to p=q-1\ \to p\ =-0,0208\ =\ -2,08\ \%\text{}$ (Das Minuszeichen zeigt die Abnahme an)

b) Funktionsterm

$m\left(t\right)=350\ mg\ \cdot0,9792^t\$

c) Nach 100 Jahren

$m\left(100\right)=350\ mg\ \cdot0,9792^{100}\approx42,84\ mg$

in Prozent vom Anfangswert

$\frac{m\left(100\right)}{m_0}=0,9792^{100}\ \approx0,122\ =12,2\%$

d) Zeit bis nur noch 1 mg übrig ist

$350\ mg\ \cdot\ 0,9792^t=1\ mg\ \to0,9792^t=\frac{1}{350}$

Auf beiden Seiten den Logarithmus bilden:

$t\cdot\ln\left(0,9792\right)\ =\ \ln\left(\frac{1}{350}\right)=-\ln\left(350\right)\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :\ \ln\left(0,9792\right)$ $t=-\frac{\ln\left(350\right)}{\ln\left(0,9792\right)}\approx278,9\$

Nach etwa 279 Jahren (ca. 8,45 Halbwertzeiten) ist nur noch 1 mg Cäsium 137 vorhanden.

Anmerkung: Die in der Aufgabe mit 33 Jahren angegebene Halbwertszeit von Cäsium 137 ist nicht korrekt. Sie beträgt ca. 30,1 Jahre. Ich habe hier mit der Halbwertszeit aus der Aufgabe gerechnet.