Verstehe den Beispiel nicht (Grenzwert)?
Hallo zusammen,
das was auf dem Bild geschrieben ist, soll eine Beispielaufgabe aus der Übungsstunde sein. Leider verstehe ich nicht so ganz, was hier gemacht wurde.
Es soll bewiesen werden, dass ein limes existiert.
Im Schritt (1)rechts kommt es zur Umformung, die ich nicht verstehe. wieso nähert man sich plötzlich der Null von links an?
Kann mir bitte Jemand alle Schritte erklären?
(Es kann sein, dass ich irgendwo falsch abgeschrieben habe)
3 Antworten
wieso nähert man sich plötzlich der Null von links an?
von rechts, nicht von links.
Man hat die Substitution 1/y = x gemacht.
x geht dann nämlich gegen unendlich genau dann wenn sich y von rechts an der 0 nähert.
Schritt 2:
Teilen durch 1/y entspricht der Multiplikation mit y.
Schritt 3:
Es wird nun |y*cos(1/y)| nach oben und unten abgeschätzt. Dass es immer größer gleich 0 sein muss ist glaube ich klar.
Dass es kleiner gleich |y| gilt, weil der Betrag von cos(x) durch 1 beschränkt ist.
Schritt 4:
Nach Schritt 3 muss die Folge gegen 0 konvergieren, da beide Schranken gegen 0 gehen.
Hey danke für die ausführliche Antwort. Ich hätte leider noch einige Fragen:
Bei Schritt (1) verstehe ich nicht so ganz. Ich glaube hier wird anhand der Logik argumentiert, nämlich dass wenn x gegen unendlich geht, dann geht es auch rückwärts gegen Null, habe ich dich richtig verstanden? Wenn ja, dann bedeutet es, dass wenn x gegen unendlich geht, geht cos(x)/x gegen null, und woher weiß man das? - das weiß man, weil (cos(1/y)) / /1/y) gegen Null geht. Also muss cos(x)/x auch gegen Null gehen. Hab ich das richtig verstanden?
Falls ich das bis jetzt richtig verstanden habe, warum muss im Schritt (1) das was auf der rechten Seite steht, auch gegen Null gehen? Nur weil das was auf der linken Seite gegen Null geht, muss doch nicht auch das was rechts steht, auch gegen Null gehen?
lim x->unendlich bedeutet ja, dass du jede beliebige Folge (x_n) für x einsetzt, die gegen unendlich konvergiert.
Für jede diese Folgen gibt es aber eine Folge (y_n) die sich von rechts an der Null nähert, sodass die Identität x_n = 1/y_n für alle n gilt.
Somit erhälst du den selben Grenzwert, wenn du x mit 1/y austauscht, und dann y von rechts gegen 0 laufen lässt.
Die Beiden Ausdrucke haben also den selben Grenzwert. Und da du beim zweiten gilt, dass der gegen 0 geht, muss der erste auch gegen 0 gehen
Bei (1) wird x mit 1/y substituiert. Da steht dann also erstmal:
lim(1/y -> infinity) cos(1/y)/(1/y)
"1/y" geht gegen unendlich, wenn das y möglichst klein wird. Das "y" darf allerdings nicht negativ werden, sonst hättest du ein Minus-Vorzeichen davor stehen. Also "möglichst klein, aber positiv" <=> "Wir nähern uns von der positiven Seite der Null an" <=> lim(y ↘ 0)
Und damit:
lim(y ↘ 0) cos(1/y)/(1/y)
Man beachte auch, dass wir uns von der positiven Seite, also von rechts, annähern und nicht wie du schreibst von links.
In (1) und (2) wurde nur substituiert und die grenzwertcharakterisierung von stetigkeit genutzt.
In (4) und (5) wurde der einschnürungssatz verwendet. (ihr nennt den vllt. anders)
Sry ich muss den unteren Abschnitt meiner Frage nochmal korrigieren:
Falls ich das bis jetzt richtig verstanden habe, warum muss im Schritt (1) das was auf der LINKEN Seite steht, auch gegen Null gehen? Nur weil das, was auf der RECHTEN Seite gegen Null geht, muss doch nicht auch das was rechts steht, auch gegen Null gehen?
Aber ich glaube ich habs kapiert, einfach weil beide Aussagen gleichgesetzt wurden und dann müssen beide gegen Null gehen.