Vektorrechnung, minimaler Abstand?

Guten Tag liebe Community,

hier zu meiner Aufgabe: Ein Ballon startet im Punkt A(2|5|0). Er bewegt sich geradlining mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach 1h im Punkt B(4|8|1). Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt C(10|15|1) und fliegt geradlining mit 90 km/h in Richtung u(vektor)=(-1|-2|2) (alle Koordinaten in km).

a.)Wie weit ist der Punkt C vom Startplatz A des Ballons entfernt?

Meine Antwort: Abstand ist √((10-2)^2)+((15-5)^2)+((1-0)^2) = 12.8452 km

b.) Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Kleinflugzeug am nächsten? Wie weit sind sie in diesem Augenblick voneinander entfernt?

So dazu habe ich die Gleichung aufgestellt: √((3r-8)^(2)+(5r-10)^(2)+(−r-1)^(2)) bzw. ohne Wurzel etc.

f1(r):=35r^(2)-146r+165

dann halt die nötigen Schritte mit Nullstellen berechnen etc. sodass ich am Ende auf 12.7429 kam.

Jetzt stellt sich die Frage für mich: Wie stelle ich jetzt die Anzahl der Minuten fest und natürlich ob ich alles richtig gemacht habe.

DAS DIENT NUR ZUR KONTROLLE UND ICH WÜRDE GERNE WISSEN OB ICH ES RICHTIG HABE DA ICH MORGEN MEINE MATHE LK-KLAUSUR SCHREIBE

MfG

Paintingers

Answer 1

[Wechselfreund]

Die Aufgabe ist nicht ohne... Ich würde erstmal die Vektorgleichungen der beiden (Flug)Geraden aufstellen. Den Richtungsvektor für das Flugzeug musst du so normieren, dass seine Länge 90 ist. Dann  die Differenz bilden. Die soll minimal werden. Also quadrieren (Längenquadrat des Differenzvektors) und über Ableitung nach t Minimum bestimmen.