Vektorprodukt, Hilfe bei Aufgabe?
Hi, kann wir wer erklären, was die Musterlösung bei der rot eingekreisten Stelle macht und was der Strich über dem r bedeutet?
3 Antworten
Es gibt ja eine ganze Reihe von Vektoren, die orthogonal zu der von a und b aufgespannten Ebene sind. Diese ganzen Vektoren liegen alle auf einer Geraden. Eigentlich würde schon das "n = r * ... " ausreichen, aber man kann den Richtungsvektor von der Geraden auch einfach mit irgendeiner Konstanten multiplizieren, damit die Zahlen schöner sind. In diesem Fall wird mit 4 multipliziert damit man keine Kommazahlen mehr hat. Das ist aber immer noch dieselbe Gerade. Dann hat man auch das r einfach zu "r Strich" umbenannt um zu kennzeichnen, das ist einfach eine andere Variable die quasi unabhängig von r ist. Man könnte da genauso gut u oder s oder sowas hinschreiben, das ist egal
Also:
Hier wurde , wenn auch nicht explizit gesagt, angenommen der zu findende orthogonale Vektor sei v=(x1,x2,x3).
dann werden die Bedingungen für die Orthogonalität zum jeweiligen Vektor hin und ausgeshcrieben:
(1,2,3)*v=0 ist einfach nur ausgeschrieben die 1. gleichung.
(2,0,3)*v=0 die zweite gleichung.
da offensichtlich das gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, also mehrere lösungen hat,
sagt man nun: sei x3=1. und rechnet dazu passend x1 und x2 aus.
im folgenden ist eben nun r ein beliebiger vektor.
(-1,5,-0,75,1) der eben gefundene vektor.
nun ist es einfach so dass das vielfache eines vektors einfach nur in vektor in gleicher richtung aber mit anderer länge ist. gleiche richtung heißt insbesondere dass der neue vektor, so wie der alte auch, immer noch orthogonal zu den 2 anfangsvektoren ist.
insofern kannst du den normalenvektor auch mit einer beliebigen zahl ungleich 0 multiplizieren und das resultat ist immer noch ein normalenvektor zu den anfangsvektoren.
und hier wurde der vektor eben so mit einer zahl multipliziert dass alles komponenten nun schöne, ganze zahlen sind.
man hätte auch einfach bei (-1,5,-0,75,1) blewiben können aber die shcreiber fanden wohl ganze zahlen als komponenten schöner :-)
b) geht analog
1 Möglichkeit über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
a kreuz b=c
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio),wo ich die Formel einprogrammiert habe
a(1/2/3) und b(2/0/3) ergibt c(6/3/-4)
2 Möglichkeit über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0
Hinweis:Damit der Vektor c(cx/cy/cz) senkrecht auf a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) steht,muß das Skalarprodukt NULL sein
1) ax*cx+ay*cy+az*cz=0
2) bx*cx+by*cy+bz*cz=0
wir setzen cz=1
1) 1*cx+2*cy=-3*1=-3
2) 2*cx+0*cy=-3*1=-3
mit 2)
cx=-3/2 in 1)
1*(-3/2)+2*cy=-3
2*cy=-3+3/2=-6/2+3/2=-3/2
cy=-3/(2*2)=-3/4
c((-3/2)/(-3/4)/1) multipliziert mit -4
cx=-3*(-4)/2=12/2=6
cy=-3*(-4)/4=12/4=3
cz=1*(-4)=-4
also auch c(6/3/-4)
Hinweis:Weil man cz frei wählen kann,gibt es unendlich viele Lösungen c(cx/cy/cz)
die aber alle auf a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) senkrecht stehen.
Der Strich über dem r ist ein Druckfehler.
r ist ein Skalar,nur eine Zahl,mit dem der Vektor multipliziert wird.