Vektor zwischen 2 Punkten soll die Länge 6 haben?
Hey ich schreibe Morgen eine Klausur. Und da ist eine Übungsaufgabe bei der ich nicht weiß wie ich sie lösen soll.
Die Länge des Vektors zwischen Punkt A(6/-4/p) und Punkt B (p/-2/3p) soll 6 betragen. Bestimme die Punkte.
Kann mir da vielleicht jemand nachhelfen?
4 Antworten
Naja, den Vektor erhälst du über "Spitze minus Fuß". Dann kannst du die Länge des Vektors als Wurzel der Summe der Quadrate der Einträge erhalten. Diese Länge (in Abhängigkeit von p) kannst du dann mit 6 gleichsetzen und die Gleichung nach p auflösen.
==========
Die Lösung ist nicht eindeutig. Ich habe dir hier mal meinen Lösungsweg aufgeschrieben:
Naja, es gibt ja inzwischen schon die Möglichkeit Formeln auf gutefrage.net in Antworten oder Fragen zu schreiben. Der Formeleditor ist allerdings sehr eingeschränkt, weshalb ich meist trotzdem die Formeln als Bild einfüge.
Die Lösung habe ich mit Microsoft Word geschrieben und dann ein entsprechenden Bildschirmausschnitt als Bild abgespeichert.
Schön das jemand die komplett gleiche Lösung wie ich hat. :) Gibt mir Bestätigung, dass ich doch nicht so eingerostet bin.
Die Länge oder Betrag eines Vektors lässt sich über den Satz des Pythagoras berechnen. Hierzu müssen alle Differenzen der einzelnen Achsenwerte der Punkte als Längen genommen werden. Das folgende d steht für Differenz.
AB = Wurzel(dx² + dy² + dz²)
dx² = (p - 6)² = (p - 6)(p - 6) = p² -12p + 36
dy² = [-2 - (-4)]² = (-2 + 4)² = 2² = 4
dz² = (3p - p)² = (2p)² = 4p²
dx² + dy² + dz² = p² - 12p + 36 + 4 + 4p² = 5p² - 12p + 40
Und damit die quadratische Funktion:
f(p) = 5p² - 12p + 40
Hier fehlt aber noch die Länge 6 die wie oben stehend auf der anderen Seite der Gleichung steht. Zieht man diese in die Wurzel, folgt:
g(p) = 5p² - 12p + 4 = 0
der bedingt der Berechnung mittels Wurzelfunktion positiv größer Null sein muss. Folglich PQ-Formel anwenden, aber vorher die Funktion in die für die PQ-Formel geeignete Form darstellen:
p² - 12/5p + 40/5 | a = -12/5; b = 4/5
(da p schon vorkommt nehme ich a und b als Bezeichnung für p und q der PQ-Formel!)
p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(12²/10² - 4/5)
p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(144/100 - 80/100)
p1/2 = 12/10 +/- Wurzel(64/100)
p1/2 = 12/10 +/- 8/10
p1 = 2; p2 = 0,4
Probe:
Wurzel[f(2)] = Wurzel(5*2² - 12*2 + 40) = Wurzel(36) = 6
Wurzel[f(0,4)] = Wurzel(5*0,4² - 12*0,4 + 40) = Wurzel(0,8 - 4,8 + 40) = 6
Also gibt es für p zwei mögliche Lösungen.
√((p-6)^2 + (-2--4)^2 + (3p-p)^2) = 6
√((p-6)^2 + 4 + 4p^2) = 6 | ^2
(p-6)^2 + 4 + 4p^2 = 36
und das weiter nach p auflösen
Im Weg stimme ich überein, aber ich würde es etwas "kundenfreundlicher" machen.
Die Abstände zwischen den Komponenten der Punkte sind <p-6 ; 2 ; 2p>. Das wäre ein Vektor, dem ich die Länge 6 (Betrag) zuzuordnen hätte. Das quadriere ich doch sofort:
(p-6)² + 4 + (2p)² = 36 | ausmultiplizieren und ordnen
5p² - 12p + 4 = 0 | normieren
p² - 2,4p + 0,8 = 0 | quadr. Gleichung lösen
p₁ = 0,4
p₂ = 2
Das sind 2 Lösungen. Die p kann man einsetzen.
Ist das etwa nicht übersichtlich?
übersichtliche Lösung
wie wurde die geschrieben? mit welchem Programm? dann hier als Bild eingefügt? schade, dass es hier keine Möglichkeit gibt, Formeln zu schreiben