Unterbestimmte und Überbestimmte Gleichungssysteme
Warum gibt es bei unterbestimmten Gleichungssystemen meist unendlich viele und bei überbestimmten Gleichungssystemen meist keine Lösungen?
4 Antworten
Das Ganze lässt sich gut anhand der Interpolation durch ein Polynom erklären.
Wenn man i verschiedene Punkte P(xi/yi) hat und man möchte ein Interpolations-Polynom finden, das durch all diese Punkte hindurchgeht, dann kann man das mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen ausrechen ! Wie man das ganz genau macht und ausrechnet findest du in Büchern zur Numerischen Mathematik.
Ein Polynom hat sogenannte Koeffizienten, die vor den einzelnen Graden von x stehen. Das wichtige dabei ist, wenn man z.B. 3 vorgegebene Punkte P(xi/yi) hat, dann gibt es ein eindeutiges Interpolations-Polynom, welches genau 3 Koeffizienten hat ! Das Interpolations-Polynom ist dann also ein Polynom 2-ten Grades.
Wenn man nun aber unbedingt darauf besteht, das man ein Interpolations-Polynom haben will das durch die 3 Punkte geht, das aber unbedingt ein Polynom 3-ten Grades sein soll, welches dann 4 Koeffizienten hat, so kann man einen der 4 Koeffizienten beliebig frei wählen und dann das Interpolations-Polynom ausrechnen. Die anderen 3 Koeffizienten sind dann vom frei gewählten Koeffizienten abhängig und da man einen Koeffizienten nach Lust und Laune jeden beliebigen Wert geben kann, gibt es kein eindeutiges Interpolations-Polynom mehr, sondern unendlich viele.
Haben wir nun aber den umgekehrten Fall, das wir wieder unsere 3 Punkte haben, wir aber darauf bestehen, wir wollen kein Polynom 2-ten Grades haben, sondern nur ein Polynom 1-ten Grades, also eine Gerade, dann haben wir 3 Punkte aber nur 2 Koeffizienten. Wenn die 3 Punkte nun aber nicht zufällig alle auf einer Linie liegen, dann werden wir das Polynom 1-ten Grades, also die Gerade, niemals dazu kriegen können durch alle 3 Punkte zu gehen, wir haben also keine Lösung. Man kann dann aber verlangen, das die Gerade möglichst dicht an den 3 Punkten vorbeiführt, das führt dann auf ein mathematisches Gebiet, das sich curve-fitting bzw. Ausgleichsrechnung bzw. Regression nennt, aber eine exakte, eindeutige Lösung ist das dann nicht mehr.
Bei unterbestimmten Gleichungssystemen hast du mindestens einen freien Parameter, den du beliebig wählen kannst. Du kannst keine Umformungen vornehmen, bei denen weniger als 2 Variablen in einer Gleichung übrig bleiben.
Ist ein Gleichungssystem überbestimmt (mehr Gleichungen als Unbekannte), so kann es sein, dass manche Gleichungen redundant (voneinander abhängig) sind. Sind aufgrund der Redundanz effektiv weniger Gleichungen vorhanden als Variablen, ist das System wieder unterbestimmt. Kommt man effektiv auf dieselbe Zahl, gibt es genau eine Lösung. Sind es effektiv mehr Gleichungen als Unbekannte, gibt es keine Lösung, da Widersprüche entstehen.
das sagt ja schon der name :)
wenn sie unterbestimmt sind, heißt das, dass sie nicht ausreichend definiert sind, und dass deswegen mehrere/unendlich viele lösungen infrage kommen. so zum beispiel, wenn du aus nur 2 informationen eine quadratische parabel errechnen willst, ein parameter wäre dann noch nicht bestimmt.
bei überdefinierten sind zu viele bedingungen gegeben, die sich nicht alle realisieren lassen. deshalb ist keine lösung möglich. hoffe ich konnte helfen :)
Bei unterbestimmten Gleichungssystemen hat man weniger Gleichungen als Unbekannte, daher kommt es zu Abhängigkeiten der Variablen, z.B. 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten a,b,c könnten dann die Lösung (a,a-1,2a+3) haben.
Bei überbestimmten Gleichungssystemen gibt es dann keine Lösung, wenn sich die Gleichungen widersprechen, da es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt.