umkehrfunktion einer bijektiven funktion ebenfalls bijektiv?
heyho,
ich habe mich gerade gefragt, folgt aus der definition der bijektivität nicht auch automatisch dass es eine umkehrfunktion geben muss und ferner noch dass diese ebenfalls bijektiv sein muss?
gruß
2 Antworten
Ja, beides ist wahr. Hier eine Beweisskizze:
Existenz der Umkehrfunktion:
Sei f: A ~> B eine Bijektion. Dann ist das Urbild eines jeden Elementes b € B einelementig (es ist nicht leer, weil f surjektiv ist und es kann nicht mehr als ein Element haben, weil f injektiv ist). Ist a das Element, für das f(a) = b gilt, so definiere g(b) := a.
Dann ist g: B ~> A eine Funktion, wie wir oben gezeigt haben. Dass es sich dabei tatsächlich um eine Umkehrfunktion handelt, folgt sofort aus der Konstruktion von g.
Ok, die Umkehrfunktion existiert also. Fehlt nur noch die
Bijektivität der Umkehrfunktion:
Ist g(b) = g(b'), so ist f(g(b)) = f(g(b')), also b = b'. Daher ist g injektiv.
Ist a € A, so wähle b = f(a). Dann gilt g(b) = g(f(a)) = a. Daher ist g surjektiv.
Klar. Wenn eine Funktion bijektiv ist besitzt sie eine Umkehrfunktion