Topologischer Raum?
Hallo!
ich studiere Mathematik und bin im 2. Semester. In der Analysis haben wir bis jetzt erst die Begriffe Metrischer Raum, Banachraum und Hilbertraum behandelt. Topologische Räume noch nicht! Bei Recherchen im Internet für bestimmte Übungsaufgaben bin ich aber relativ oft auf den Begriff gestoßen, weshalb ich mich interessiert einwenig darüber informieren wollte. Ich weiß, in der Schule hat man gelernt, dass Wikipedia nicht immer die vertrauensvollsten Plattform ist. Trotzdem habe ich einfachmal den Begriff Topologischer Raum auf Wikipedia gesucht. Das erste, was man sehen kann ist natürlich die Überschrift. Darauf folgt direkt ein Beispiel, welches einem durch ein Bild verstärkt nähergebracht wird:
Ganz simpel wird hier die Potenzmenge der Menge {1,2,3} benutzt. Ist ja schön und gut. Jedoch habe ich mir dann die Definition angeschaut, wo steht, dass die Grundmenge X offen sein muss (die Axiome).
Aber seit in wie fern ist X=P({1,2,3}) (Potentmenge) offen? Wenn ich {1,2,3} z.B. als Teilmenge von IR betrachte ist sie jedenfalls abgeschlossen. Was gilt für die Potenzmenge? Ich bin ein wenig verwirrt...
LG Max Stuthmann
1 Antwort
Hallo,
P({1,2,3}) ist die Potenzmenge der Menge {1,2,3}, d.h. P besteht aus allen Teilmengen der Menge {1,2,3}.
Die Grundmenge (der topologische Raum) ist hier {1,2,3}.
Die Elemente von P werden als offene Mengen definiert.
Und Vorsicht: nicht P ist offen, sondern die Elemente von P, also die Teilmengen von {1,2,3} sind als offen definiert.
Du darfst dir die Elemente von P hier nicht als Elemente von ℝ vorstellen, wobei du ℝ implizit als topologischen Raum siehst, in dem einzene reelle Zahlen in der Tat abgeschlossen sind.
Gruß
