Summenzeichen mit Term mit n ausdrücken?

Guten Abend

Ich weiss nicht, wie ich bei dieser Aufgabe eine Summe durch einen Term mit n ausdrücken sollte:

oben n unten k=1 ∑√(k+1) - √(k)

In der Lösung steht dass ich auf √(n+1)-1 kommen sollte, ich weiss aber nicht, wie.

Kann mir wer weiterhelfen?

Answer 1

[nobytree2]

$\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)$ Eines sollte hier auffallen, nämlich dass der erste Summand der Nachfolger des zweiten Summanden ist $\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)=\ \sum_{k=2}^{n+1}\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)$ Es wird also immer der Vorgänger abgezogen, was übrig bleibt, ist

$\sqrt{n+1}$ und am Anfang wird noch ein "Vorgänger" eines nicht vorangegangenen Elements abgezogen, nämlich

$bei\ k=2\ :\ \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1$ also

$\sqrt{n+1}-1$ Das Muster ist hier, dass hier das Paar Vorgänger und Nachfolger voneinander abgezogen werden, dann bleibt nur der letzte Nachfolger minus dem ersten Vorgänger.

Das ist nur dasjenige, was DerRoll schon gesagt hat, von mir nur etwas belletristisch ausgeschmückt.

Answer 2

[DerRoll]

Teile in zwei Teilsummen auf, mache bei der zweiten Teilsumme eine Indextransformation um -1 und schau was übrig bleibt.