Frage von LaFamilia99, 95

Suche Mathematiker für eine Aufgabe?

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe

Der Querschnitt eines Kanals ist ein gleichschenkliges Dreieck. Aus bautechnischen Gründen soll x + y = 23 sein. Welche Maße sind für x und y zu wählen, damit der Querschnitt des Kanals möglichst groß wird? Wie groß ist er dann ?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Schule, 10

x und y beschreiben Grundlinie und Höhe des Dreiecks.

Der Flächeninhalt des Querschnitts ist

A = 0,5xy

Dies ist eine Extremwertaufgabe, dementsprechend kannst du Bedingungen aufstellen:

x + y = 23 (Nebenbedingung)
A(x, y) = 0,5xy (Hauptterm)

x = 23 - y

A(y) = 0,5*(23 - y)*y
= 0,5y * (23 - y)
= 11,5y - 0,5y²
= -0,5y² + 11,5y
= -0,5(y² - 23y)
= -0,5(y² - 23y + 11,5² - 11,5²)
= -0,5((y - 11,5)² - 11,5²)
= -0,5(y - 11,5)² - 0,5*-11,5²
= -0,5(y - 11,5)² + 66,125

S(11,5 | 66,125)

x = 23 - y
= 23 - 11,5
= 11,5

Für x=11,5cm² und y=11,5cm² wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal mit 66,125cm².

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von LaFamilia99 ,

Wo kommen die 11.5 her ? :)

Kommentar von LaFamilia99 ,

Bin kein Mathe Genie 😅

Kommentar von Willibergi ,

11,5 sind die Hälfte von 23.

LG Willibergi

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 14

Ich nehme mal an, dass x und y die Grundseite und die Höhe sind.

Einen großen Querschnitt interpretiere ich als große Dreiecksfläche.


Dann gilt:

Nebenbedingung: x+y=23

Nach y umgestellt: y=23-x

Hauptbedingung: A(x,y)=(x*y)/2 soll maximal werden.

Wir setzen y=23-x in (x*y)/2 ein.

Zielfunktion: A(x)=(x*(23-x))/2

A(x)=(-x²+23x)/2

A(x)=-0.5x²+11.5x


Damit A(x) maximal wird, muss ein Funktionsmaximum ermittelt werden.

Hinr. Bed. für Extreme: f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0.

f'(x)=-x+11.5

f''(x)=-1


0=-x+11.5 <=> x=11.5

f''(11.5)=-1<0, also Maximum bei x=11.5


Nun ermitteln wir y.

x+y=23

11.5+y=23

y=11.5


Das Dreieck hat mit der Grundseite x=11.5 LE und der Höhe y=11.5 LE den maximalen Flächeninhalt. Er beträgt dann A(11.5)=66.12500 FE



Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 12

Du ziehst eine Senkrechste,so das 2 rechtwinklige Dreiecke entstehen.

Wird nun die Fläche von 1 rechtwinkligen Dreieck maximal,so hast du automatisch die maximale Fläche des gesamten Dreiecks,da ja die Gesamtfläche aus 2 gleichen rechtwinkligen Dreiecken besteht. 

maximale Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist Amax= 1/4 * c^2

Winkel Alpha (a)=45° und Winkel Beta (b)=45°

c ist die Länge des Schenkels (beide sind ja gleich lang)

Herleitung A=1/2 * a *b Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.

a=cos(a) * C und b=sin(a) *C ergibt A=1/2 * C^2 * cos(a) * sin(a)

Aus den Mathe-Formelbuch sin(a) * cos(b)= 1/2 *(sin(a-b)+sin(a+b)

mit (a)=(b) (Winkel sind gleich)

sin(a) *cos(a)=1/2 *sin(2 * a) eingesestzt

Amax=1/4 * C^2 * sin(2 * 45°) Maximum wenn sin(2 *a)= 1 bei a=45°

Endergebnis : Amax=1/4 * C^2

Kommentar von LaFamilia99 ,

Wir haben das glaube immer mit eine Kurvendiskussion gemacht, denke ich zumindestens weil das momentan unser Thema ist :)
Also wie kann ich das am besten aufschreiben ?

Kommentar von fjf100 ,

Dies ist eine "Extremwertaufgabe".Der Querschnitt des Kanals soll maximal werden.

Durch eine Senkrechte im gleichschenkligen Dreieck entstehen 2 rechtwinklige Dreiecke.Wenn nun die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks maximal wird,dann ist natürlich der gesamte Querschnitt maximal.

1.Schritt : Wir teilen den dreieckigen Querschnitt mit einer Senkrechten in 2 rechtwinklige Dreiecke auf.

2. Schritt : Wird nun die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks maximal,dann ist die Aufgabe gelöst.

Wir haben die Aufgabe auf die Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zurückgeführt.Diese Fläche muss maximal werden !

was nun x+y=25 ist ,kann ich nicht sagen,dazu brauch ich eine Zeichnung. 

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Schule, 33

Was ist x und y?

Grundlinie und Höhe? Seitenlängen?

LG Willibergi

Kommentar von LaFamilia99 ,

Ich vermute mal aber da ich davon kaum was verstehe frage ich hier 👈🏻

Antwort
von Safrosofty, 41

Er ist dann x+y:r * pi - Wurzel von x und: y

Kommentar von LaFamilia99 ,

Wie bitte ? :D

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