Suche Mathematiker für eine Aufgabe?
Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe
Der Querschnitt eines Kanals ist ein gleichschenkliges Dreieck. Aus bautechnischen Gründen soll x + y = 23 sein. Welche Maße sind für x und y zu wählen, damit der Querschnitt des Kanals möglichst groß wird? Wie groß ist er dann ?
5 Antworten
Du ziehst eine Senkrechste,so das 2 rechtwinklige Dreiecke entstehen.
Wird nun die Fläche von 1 rechtwinkligen Dreieck maximal,so hast du automatisch die maximale Fläche des gesamten Dreiecks,da ja die Gesamtfläche aus 2 gleichen rechtwinkligen Dreiecken besteht.
maximale Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist Amax= 1/4 * c^2
Winkel Alpha (a)=45° und Winkel Beta (b)=45°
c ist die Länge des Schenkels (beide sind ja gleich lang)
Herleitung A=1/2 * a *b Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.
a=cos(a) * C und b=sin(a) *C ergibt A=1/2 * C^2 * cos(a) * sin(a)
Aus den Mathe-Formelbuch sin(a) * cos(b)= 1/2 *(sin(a-b)+sin(a+b)
mit (a)=(b) (Winkel sind gleich)
sin(a) *cos(a)=1/2 *sin(2 * a) eingesestzt
Amax=1/4 * C^2 * sin(2 * 45°) Maximum wenn sin(2 *a)= 1 bei a=45°
Endergebnis : Amax=1/4 * C^2
Dies ist eine "Extremwertaufgabe".Der Querschnitt des Kanals soll maximal werden.
Durch eine Senkrechte im gleichschenkligen Dreieck entstehen 2 rechtwinklige Dreiecke.Wenn nun die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks maximal wird,dann ist natürlich der gesamte Querschnitt maximal.
1.Schritt : Wir teilen den dreieckigen Querschnitt mit einer Senkrechten in 2 rechtwinklige Dreiecke auf.
2. Schritt : Wird nun die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks maximal,dann ist die Aufgabe gelöst.
Wir haben die Aufgabe auf die Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zurückgeführt.Diese Fläche muss maximal werden !
was nun x+y=25 ist ,kann ich nicht sagen,dazu brauch ich eine Zeichnung.
x und y beschreiben Grundlinie und Höhe des Dreiecks.
Der Flächeninhalt des Querschnitts ist
A = 0,5xy
Dies ist eine Extremwertaufgabe, dementsprechend kannst du Bedingungen aufstellen:
x + y = 23 (Nebenbedingung)
A(x, y) = 0,5xy (Hauptterm)
x = 23 - y
A(y) = 0,5*(23 - y)*y
= 0,5y * (23 - y)
= 11,5y - 0,5y²
= -0,5y² + 11,5y
= -0,5(y² - 23y)
= -0,5(y² - 23y + 11,5² - 11,5²)
= -0,5((y - 11,5)² - 11,5²)
= -0,5(y - 11,5)² - 0,5*-11,5²
= -0,5(y - 11,5)² + 66,125
S(11,5 | 66,125)
x = 23 - y
= 23 - 11,5
= 11,5
Für x=11,5cm² und y=11,5cm² wird der Flächeninhalt des Dreiecks maximal mit 66,125cm².
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Ich nehme mal an, dass x und y die Grundseite und die Höhe sind.
Einen großen Querschnitt interpretiere ich als große Dreiecksfläche.
Dann gilt:
Nebenbedingung: x+y=23
Nach y umgestellt: y=23-x
Hauptbedingung: A(x,y)=(x*y)/2 soll maximal werden.
Wir setzen y=23-x in (x*y)/2 ein.
Zielfunktion: A(x)=(x*(23-x))/2
A(x)=(-x²+23x)/2
A(x)=-0.5x²+11.5x
Damit A(x) maximal wird, muss ein Funktionsmaximum ermittelt werden.
Hinr. Bed. für Extreme: f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0.
f'(x)=-x+11.5
f''(x)=-1
0=-x+11.5 <=> x=11.5
f''(11.5)=-1<0, also Maximum bei x=11.5
Nun ermitteln wir y.
x+y=23
11.5+y=23
y=11.5
Das Dreieck hat mit der Grundseite x=11.5 LE und der Höhe y=11.5 LE den maximalen Flächeninhalt. Er beträgt dann A(11.5)=66.12500 FE
Was ist x und y?
Grundlinie und Höhe? Seitenlängen?
LG Willibergi
Ich vermute mal aber da ich davon kaum was verstehe frage ich hier 👈🏻
Er ist dann x+y:r * pi - Wurzel von x und: y
Wir haben das glaube immer mit eine Kurvendiskussion gemacht, denke ich zumindestens weil das momentan unser Thema ist :)
Also wie kann ich das am besten aufschreiben ?