Stammfunktion von |x| bestimmen, wenn ich eine Fallunterscheidung mache <0=-1/2x^2 und >0 1/2x^2, geht das, aber ist das auch die Stammfunktion?

Ich könnte ja sagen das Integral von |x| ist für x<0=-1/2x^2 und für x>0 1/2x^2.

Aber ist das auch dei Stammfunktion?

Answer 1

[mihisu]

Erst einmal ist es nicht „die“ Stammfunktion, sondern es ist „eine“ Stammfunktion. (Es gibt schließlich noch weitere Stammfunktionen, die sich additiv um eine Konstante unterscheiden.)

Wenn du noch den Wert 0 an der Stelle x = 0 ergänzt, ja. (Oder meinst du mit „<0=“ eigentlich „<=0“, also „≤ 0“ und hast das zu diesem Fall hinzugenommen? Sonst fehlt dir nämlich der Wert an der Stelle x = 0.)

$F:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\begin{cases}-\frac{1}{2} x^2 & \text{falls }x<0\\0 & \text{falls }x=0\\\frac{1}{2} x^2 & \text{falls }x>0\end{cases}$

(bzw. anders dargestellt auch F: ℝ → ℝ, x ↦ 1/2 ⋅ x ⋅ |x|)

ist eine Stammfunktion zu f: ℝ → ℝ, x ↦ |x|.

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Begründung:

Dies kann man einerseits dadurch begründen, dass man F als Integralfunktion

$F:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\int\limits_{0}^{x}\left\lvert \tilde{x}\right\rvert\,\text{d}\tilde{x}$

der Betragsfunktion erhält, die dann nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion der Betragsfunktion ist.

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Andererseits kann man für die Funktion F auch nachrechnen, dass F′(x) = |x| ist, womit man dann anhand der Definition von Stammfunktionen gezeigt hat, das F eine Stammfunktion der Betragsfunktion ist.

Für x < 0 ist...

$F'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(-\frac{1}{2}x^2\right)=-x\overset{[x<0]}{=}\left\lvert x\right\rvert$

Für x > 0 ist...

$F'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1}{2}x^2\right)=x\overset{[x>0]}{=}\left\lvert x\right\rvert$

Für x = 0 ist...

$F'(x)=F'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{F(x)-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{F(x)}{x}\overset{[*]}{=}0=|0|=|x|$

Bei [*] ist eingegangen, dass die beiden einseitigen Grenzwerte...

$\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{F(x)}{x}=\lim\limits_{x\nearrow 0}\frac{-\frac{1}{2}\cdot x^2}{x}=\lim\limits_{x\nearrow 0}\left(-\frac{1}{2}\cdot x\right)=-\frac{1}{2}\cdot 0=0$

$\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{F(x)}{x}=\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{\frac{1}{2}\cdot x^2}{x}=\lim\limits_{x\searrow 0}\left(\frac{1}{2}\cdot x\right)=\frac{1}{2}\cdot 0=0$

... übereinstimmen und gleich 0 sind, weshalb der entsprechende beidseitige Grenzwert existiert und gleich 0 ist.

Jedenfalls ist F′(x) = |x| für alle x ∈ ℝ, weshalb F eine Stammfunktion der Betragsfunktion ist.

Answer 2

[Jangler13]

Da |x| stetig ist, gilt der Fundamentalsatz der Analysis.

Das bedeutet, dass die Stammfunktion differenzierbar ist, und dass dessen Ableitung die zu integrierende Funktion sein soll.

Damit kannst du selbst prüfen ob das eine Stammfunktion ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master