Schwerpunktberechnung von einteiligen Körpern?
bitte um Hilfe...
für die Berechnung von Schwerpunkten bei Körpern (Kugel, Quader und einer Kreisscheibe. Wie lauten die Formeln für die Aufstellung der Integrale?
Ich bin dankbar für jeden Ansatz.
1 Antwort
Die Schwerpunkte der Kugel, des Quaders und einer Kreisscheibe liegen ganz einfach jeweils in der Mitte. Erst wenn die Körper komplizierter werden muss man die Integralrechnung bemühen. Das fängt schon an, wenn man nur zwei verschiedene Quader zusammenfügt. Der Ansatz zur Berechnung des Schwerpunktes basiert auf der Idee, dass ein Körper an einem Aufhängepunkt ein bestimmtes Drehmoment erzeugt, das man durch Aufsummation vieler infinitesialer Drehmomente berechnet. Das Drehmoment selbst ist das Produkt eines Volumenelementes (Schwerkraftäquivalent) mal Hebelarm (Entfernung vom Aufhängepunkt). Hat man dieses Drehmoment durch Integration ermittelt, dann kann man sich einen Ersatzkörper vorstellen, der die gesamte Schwerkraft an nur einem einzigen Punkt konzentriert eben den Schwerpunkt.
Aus dieser Anschauung formuliert man folgendes Integral
wobei man sich von folgender Skizze leiten lässt.
Dabei ist x_s die gesuchte Schwerpunktkoordinate zunächst nur für die x-Komponenten. Die Variable x ist dann der Hebelarm. Das Volumenelement dV muss dann entsprend ausformuliert werden. In der Skizze entspricht das der Dicke (y-Ausdehnung) der Silhoutte des Flugzeugrumpfes. Hat man das gesamte Drehmoment bestimmt, dann muss das Integral zum Schluss wieder durch das Gesamtvolumen dividiert werden um den Ersatzhebelarm bzw. die Schwerpunktkoordinate zu erhalten. In der Praxis kann das bedeuten, dass auch das Gesamtvolument durch ein eigenes Integral bestimmt werden muss.
Betrachte doch einfach den Flugzeugrumpf als 3D Körper. Der Punkt x_s ist nämlich in Wahrheit gar kein Punkt, sondern beschreibt eine Schwerpunktebene mit den Koordinaten (x_s | y | z) wobei man nur x_s kennt, nicht aber y und z.
Im nächsten Schritt wählt man als Hebelarmvariable y und die infinitesimalen Volumenelemente sind waagerechte Streifen, die in der Abbildung von links nach rechts laufen. Wieder wird über den ganze Flugzeugkörper ein Integral ausgeführt. Man gewinn auf diese Weise die Schwerpunktebene y_s. Dort wo sich beide Ebenene kreuzen hat man dann eine Schwerpunktlinie. Von der Orientierung könnte diese durch eine Sitzgruppe gehen.
Ein drittes Integral über alle dz ist nötig um auf dieser Linie letztlich den Schwerpunkt zu bestimmen.
Bei einer Kugel kannst Du diese Berechnung aus Spaß einmal durchexerzieren. Die zugehörigen Integrale werden dann den Kugelmittelpunkt als Schwerpunkt ergeben.
hey, danke für diese ausführliche Erklärung. Wie man bei einzelnen Flachen Körpern bzw. Flächen den Schwerpunkt rechnerisch ermittelt weiß ich bereits. Gut zu wissen, dass ich keine Integralrechnung benötige, aber wie unterscheidet sich die Berechnung nun zu 3 D Körpern, wie z.B. einer Kugel?