R als Q-Vektorraum?
Hallo!
Betrachten wir den Körper der Reellen Zahlen und somit den R-Vektorraum R^1=R. Dann ist R ein dimensional, denn z.B. {1} ist eine Basis.
Jetzt würde ich gerne mal R über Q betrachten... also R als Q-Vektorraum. Die rationalen Zahlen sind ja mit + und • ein Körper, also sollte es doch keine Probleme geben... oder?
Jetzt würde ich gerne über die Dimension von R als Q-VR nachdenken. Meine Frage ist, ob diese Überlegungen richtig sind.
Ich suche jetzt eine Basis dieses Raumes. Naja durch endliche Linearkombination lassen sich die Elemente aus R\Q nicht darstellen... Ich dachte dann an Folgen oder besser gesagt Reihen, deren Konvergenz für n gegen unendlich eine irrationale Zahl ist, jedoch jedes Glied der Partialsummenfolge rational ist...
Ist es nun möglich eine Basis zu finden? Also sie wird unendlich sein und somit auch die Dimension.
sind die Natürlichen Zahlen etwa ein Basis von dem Q-Vektorraum R?
Danke und LG
1 Antwort
So einfach ist es nicht. Eine
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)
ermöglicht die Darstellung jedes Elements des Vektorraums mittels einer endlichen Linearkombination. D.h. konvergente Folgen von Vektoren sind nicht erlaubt. Da wir aber ein Erzeugendensystem haben (nämlich R selbst) garantiert das Zornsche Lemma (oder der Basisatz oder das Auswahlaxiom; die sind alle und noch mehr äquivalent) auch die Existenz eines minimalen Erzeugendensystems, sprich einer Basis. Diese dürfte tatsächlich unendlichdimensional (ich schätze sogar überabzählbar) sein, da sie ja eine endliche Kontruktionsvorschrift für beliebige transzendente Zahlen ermöglichen muss.
Nachtrag: wenn du den Artikel vollständig durchliest, wirst du auch auf Hilberträume und deren Basen stossen. Es gilt
Bei einem unendlichdimensionalen, vollständigen reellen oder komplexen Skalarproduktraum (speziell also in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum) ist eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis und umgekehrt. Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich eine Hamelbasis häufig nicht einmal orthonormieren.
Eine Schauderbasis ist eine Basis im Hilbertraum, die unendliche Linearkombinationen zulässt. Eine Hamelbasis ist die übliche Vektorraumbasis.
In der Tat müsste eine solche Basis überabzählbar sein. Das lässt sich durch relativ elementare kombinatorische Argumente zeigen:
Wie du bereits erwähnt hast, kann eine Linearkombination nur endlich viele Elemente der Basis verwenden. Nehmen wir an, die Basis wäre abzählbar. Dann gibt es auch nur abzählbar viele endliche Teilmengen dieser Basis.
Für jede endliche Teilmenge können wir nun abzählbar viele Linearkombinationen bilden (im Wesentlichen |Q|^n Linearkombinationen, wenn die Teilmenge n Elemente hat. Aber |Q|^n = |Q|).
Das heißt, die Menge aller Linearkombinationen wäre eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und somit abzählbar. Aber die Menge aller Linearkombinationen muss ja ganz R sein, was nicht abzählbar ist.
Überabzählbare Basen sind i.d.R. nicht sehr gut zu handhaben. Tatsächlich kann man für den Q-Vektorraum R keine Basis einfach so hinschreiben, weil deren Existenz wirklich nur durch das Auswahlaxiom garantiert wird.