Quantenphysik?Physik?
Hallo,
ich schreibe demnächst meine letzte Kursarbeit in Physik. Jedoch komme ich bei der Nr 5 nicht weiter und mein Physiklehrer will mir nicht die Lösung sagen. Könnte mit jemand die Nr.5 erklären? :) weil die Kursarbeit wird sehr ähnlich aufgebaut sein und ich kann alles bis auf die Nr. 5
Danke im voraus:D
MfG
Alessio
2 Antworten
Hallo Alessio1201,
der Kasten in Aufgabe V. ist nicht unbedingt ein realer Kasten, es geht um die Beschränkung eines Teilchens auf begrenzten Raum durch ein Potential.
a) Es lässt sich als ein ganz grobes 1D- Modell für ein Elektron im Atom auffassen.
b) Es geht wohl um die Bedeutung. NEWTONs F› = m∙a› ist zentral für die Klassische Mechanik, SCHRÖDINGERs Ĥψ = Eψ ist die Schlüsselgleichung für die Quantik.
c) Ĥψ = Eψ ist eine Eigenwertgleichung, weshalb auch Aufgabe III. das aufgreift. Der HAMILTON- Operator Ĥ ist gewissermaßen eine Matrix, ψ ein Eigenvektor zum Eigenwert E im theoretisch unendlichdimensionalen HILBERTraum der Zustandsvektoren.
d) Die Wellenfunktion muss stetig sein, ihre Ableitung grundsätzlich auch. Wenn allerdings die Potentialwand "unendlich hoch" ist, also das Teilchen strikt auf den Kasten begrenzt ist, muss einfach der Funktionswert an den Rändern gleich Null sein (Schwingungsknoten). In einer Flöte sind die Löcher Knoten hinsichtlich des Luftdrucks. Da pₓ = ħ∙kₓ = ħ∙2π⁄λ ist, sind in einem Kasten der Länge L nur n∙ħ∙π⁄L möglich.
e) Dazu muss man Ĥ ein wenig aufdröseln: Im Inneren des Kastens ist das Potential V=0, und so ist Ĥ = (ħ²/2mₑ)∂²/∂x² = p̂²/2mₑ. Daher wächst Eₙ quadratisch mit n, nämlich Eₙ = (n∙ħ∙π)²/2mₑL².
Als Anwendungsbeispiel werden gerne die delokalisierten π-Elektronen in einem Molekül genannt. In Teilaufgabe e) wird sogar explizit auf Elektronen Bezug genommen.
Aus dem zweiten Newton'schen Axiom werden die Bewegungsgleichungen in der klassischen Mechanik ermittelt: Wie bewegt sich das Teilchen im zeitlichen Verlauf? Aus der Schrödingergleichung werden die Wellenfunktionen berechnet: Wie entwickelt sich das System im zeitlichen Verlauf?
H ist der Hamilton-Operator, E sind dessen Eigenwerte, ψ die Wellenfunktion, das ɸ wahrscheinlich ein Druckfehler.
Im Potentialkasten können nur Wellen existieren, für die die Kastenlänge ein Vielfaches ihrer halben Wellenlänge ist. Das gilt so auch für schwingende Luftsäulen in Flöten.
Um konkrete Werte auszurechnen, muss man nur die Kastenlänge in die Formel für die Energieeigenwerte einsetzen.