Physik-Rechenbeispiel zu Bewegung
Von einem Turm der Höhe h = 80 m wird eine Masse m = 8 kg senkrecht nach unten fallengelassen. Zur gleichen Zeit wird vom Boden aus in 2 m Höhe eine Masse m = 1 kg senkrecht mit einer Geschwindigkeit v = 25 m/s nach oben geworfen. Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide Massen auf gleicher Höhe? Wie lang sind jeweils die beiden Massen in der Luft und mit welcher Geschwindigkeit schlagen sie am Boden auf?
Könnte mir da bitte irgendjemand weiterhelfen? Ich hab nämlich keine Ahnung wie man das berechnet, wann beide Massen auf gleicher Höhe sind.... Vielen Dank schonmal, Vera!
2 Antworten
grundsätzlich richtig ist der Lösungsansatz richtig, nur ist beim senkrechten Wurf der Abwurf aus einer Höhe von 2m nicht berücksichtigt worden. Also hätten wir stattdessen für das "Fallverhalten":
h(t) = -9,81 * 1/2 * t^2 + 25 * t + 2 h(t).... Höhe in m
t........ Zeit in s
Daraus ergibt sich für den Zeitpunkt der gleichen Höhe:
t = 3,12 s
und "Luftzeit":
t = 5,1756 s
und Aufprallgeschwindigkeit:
t = 25,773 m/s
Hallo Vera!
Ich will mal versuchen, Dir zu helfen! ;D
Die Formeln zum Fallverhalten von Körpern heißen (wie Du vielleich weißt):
- beim freien Fall: y = y0 - 1/2 x g x t^2
- bei dem senkrechten Wurf: y = v0 x t - g/2 x t^2
g ist bekanntlich 9,81 m/s^2
Beim Einsetzen von Deinen Größen ergibt sich:
- y = 80m - 1/2 x 9,81m/s^2 x t^2
- y = 25m/s x t - (9,81m/s^2) / 2 x t^2
Entweder man löst jetzt eine zu zum Beispiel t auf und setzt die Gleichungen ineinander ein, oder Du gibst einfach beide Gleichungen in den GTR ein und lässt Dir den Schnittpunkt berechnen (2. Möglichkeit ist wesentlich einfacher ;) ).
Als Schnittpunkt ergibt sich dann x=3,2; y= 29,7728. Das heißt die zwei Massen befinden sich nach 3.2 Sekunden gleichzeitig auf einer Höhe von 29,7728 Metern.
Um die Geschwindigkeit auch ganz einfach mit dem GTR zu berechnen, benutzen wir einfach die 1. Ableitung an der Stelle, an der die Massen auf den Boden aufschlagen, also an den positiven Nullstellen der Parabeln. --> für Nullstellen Mitternachtsformel oder einfach wieder GTR... ;D
- Nullstelle von m1 (freier Fall): t=3,03855
- Nullstelle von m2 (senkrechter Wurf): t=5,096
Als Ableitungen ergeben sich dann:
- y'(3,03855)=-29,8081755
- y'(5,096)=-24,99176
Heißt, m1 schlägt mit 29,808m/s, m2 mit 24,99m/s auf den Boden auf.
Ich hoffe ich konnte Dir weiterhelfen, für Rechenfehler keine Garantie ;), MfG, Adlerx ;D
Kein Problem, ich helf doch immer gerne! ;D
Leider kann ich Deine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit grade nicht ganz nachvollziehen. Die gute Nachricht aber: Deine 93,6m/s sind richtig. Das ganze war mein Fehler, da die Nullstelle von m1 nicht wie oben geschrieben 3,038, sondern 4,038 ist. Sorry... ;D
Insofern kannst Du die Geschwindigkeit entweder über die Variante mit den Ableitungen berechnen, über "Deine" Formel oder die allgemeine, und auch etwas einfachere Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von Zeit, also v(t) = -g x t. Letzteres wäre dann die Möglichkeit gewesen, die ich Dir noch vorgeschlagen hätte. ^^
Zu Deiner zweiten Frage: Genau, Du löst die Formel y = 80m - 1/2 x 9,81m/s^2 x t^2 zu t auf. Dann kannst Du überall, wo im hinteren Teil "y" steht, das "y" mit v0 x t - g/2 x t^2 ersetzen, da y = v0 x t - g/2 x t^2. Jetzt hast Du nur noch eine Unbekannte, das t, und kannst Die Gleichung auflösen. Das Ergebnis müsste der Treffpunkt der zwei Massen sein. :D
So, Danke erstmal für die schnelle ausführliche Antwort!
Mein Problem ist, das ich alle Rechenwege genau angeben muss, für die Aufprallgeschwindigkeit hab ich folgende Formel verwendet: Wurzel aus (2 x g x h) und da kommt bei mir für Masse eins 39,6 m/s raus. Wie also kommst du da auf 29,8 ich mein, gibt es da einen anderen Lösungsweg als eine Ableitung zu machen?
Und wenn ich die erste von dir angegebene Formel nach t auflöse kommt raus: t= Wurzel aus (2 x s / g), also die Fallzeit von Masse eins. Wie komm ich da auf den Zeitpunkt wenn sie auf gleicher Höhe sind?
Tut mir leid, falls ich meine Fragen blöd formuliert hab aber ich bin einfach eine komplette Niete in Physik :/