Frage von chantraxoxox, 37

Physik Hausaufgabe Keplersche Gesetze?

Ich habe eine Hausaufgabe die lautet: Jupiter benötigt für seinen Umlauf um die Sonne 11 Jahre und 315 Tage. Wie weit ist Jupiter von der Sonne entfernt? Weiß jemand wie so etwas geht?

Antwort
von NoHumanBeing, 17

Wenn T die Umlaufzeit ist und a die große Halbachse der Bahn (= größter Abstand von der Sonne), dann ist (innerhalb des selben Planetensystems!) T²/a³ konstant (sog. Kepler-Konstante).

Du kennst die Umlaufzeit der Erde (ca. 365 Tage, wenn man's ganz genau nimmt 365.256 Tage) und ihren Abstand von der Sonne (ca. 1 AE).

Erde und Jupiter laufen um das selbe Zentralgestirn, d. h. Du kannst sagen:

T_Jupiter² / a_Jupiter³ = T_Erde² / a_Erde³

Diese Formel musst Du nun nach der Variablen a_Jupiter auflösen und dann setzt Du einfach ein.

Da Du nur mit Verhältnissen rechnest, müssen die Einheiten auf beiden Seiten nur gleich sein. (D. h. Du musst die 11 Jahre und 315 Tage in Tage umrechnen.)

Wenn Du magst (oder es gefordert ist), kannst Du aber auch erstmal alles in SI-Einheiten (sprich Umlaufzeit in Sekunden und Größe der Halbachsen in Metern) umrechnen. Ist aber in diesem Fall eigentlich nicht erforderlich, da hier nur das Verhältnis interessant ist und nicht die konkreten Werte. Wenn Du in Tagen und AE rechnest, bekommst Du die große Halbachse von Jupiter eben auch in AE heraus (was ja auch durchaus Sinn macht, weil es dann nicht so riesige Zahlen sind).

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 5

Die Umlaufzeit T[J] des Jupiter ist gegeben, die Umlaufzeit T[E] der Erde bekannt (die Maßeinheit »Jahr« ist so definiert).  

Um den Abstand r[J] zwischen Jupiter und Sonne zu berechnen, brauchst nur den Abstand r[E] zwischen Erde und Sonne und die 3. Kepler'sche Regel*)

(1.1) T[J]²/T[E]² = r[J]³/r[E]³,

die nach r[J] aufgelöst

(1.2) r[J] = ∛{r[E]³·T[J]²/T[E]²}

ergibt. Ganz grob ist

(2) T[J]/T[E] ≈ 12 ⇒ (T[J]/T[E])² ≈ 144 ∈ [125, 216] = [5³, 6³],

der Jupiter ist also etwas mehr als 5, aber viel weniger als 6 mal so weit von der Sonne entfernt als die Erde. Genaueres musst Du schon selbst ausrechnen.

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Natürlich lässt sich (1.1) auch herleiten:

Die Schwerebeschleunigung im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers der Masse M ist, im Abstand r von dessen Schwerpunkt,

(3) g⃗ = –e⃗_r·G·M/r²,

wobei G ≈ ²/₃×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) die Gravitationskonstante und e⃗_r der Einheitsvektor in radialer Richtung ist (–e⃗_r weist also auf den Schwerpunkt). 

Für eine Kreisbahn muss die Zentrifugalbeschleunigung

(4) a⃗_z = (v²/r)·e⃗_r = ω²·r·e⃗_r = ω²·r⃗

gleich |g⃗| sein, sodass

(5.1) G·M/r² = ω²·r

sein muss, was sich zur 3. Kepler'schen Regel für Kreisbahnen

(5.2) G·M = ω²r³ = 4π²r³/T² ⇔ T² = (4π²/GM)·r³

umformen lässt (für elliptische Bahn ist r durch r̅ zu ersetzen, die mittlere Entfernung), und dies weiter zu

(5.3) T²/r³ = (4π²/GM) = const.,

und der Vergleich zweier verschiedener Umlaufzeiten und Radien führt auf eine Gleichung wie (1), die 3. Kepler-Regel. 

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*) Meist »Kepler'sches Gesetz« genannt, aber für ein Gesetz im  ist sie, wie das »Ohm'sche G.« oder das »Hook'sche G.« nicht fundamental und allgemeingültig genug.

Antwort
von Mojoi, 15

Das 3. Keplersche Gesetz hilft dir weiter. Es stellt fest, dass Umlaufzeiten und Halbachsen zweier Planeten in mathematischer Abhängigkeit zueinander stehen.

Mit der Umlaufdauer eines Planeten und der Umlaufdauer und Halbachse eines anderen Planeten kannst du die Halbachse des ersten Planeten zurückrechnen.

Als Referenzplanet kannst du die Erde nehmen, deren Umlaufdauer und Halbachse sehr gut bekannt sind (1 Jahr, ca. 150Mio km).

Falls du die bekannte Halbachse eines Planeten (z.B. der Erde) nicht verwenden darfst, kannst du die Halbachse des Jupiters immernoch im Verhältnis zu einer anderen unbekannten Halbachse angeben. Z.B. kannst du dann angebe, dass die Halbachse Jupiters ca. das fünffache der Halbachse der Erde bzw. fünf Astronomische Einheiten beträgt.

Antwort
von LeroyJenkins87, 30

Die Angaben reichen nicht aus. Man muss zum Beispiel noch die Geschwindigkeit wissen.

Kommentar von chantraxoxox ,

Von Jupiter wäre das 13,1 km/s und von der Sonne habe ich keine bekommen. :)

Kommentar von Mojoi ,

Ach, die war gegeben? Da brauchste ja nicht mal den alten Kepler zu bemühen.

Kommentar von NoHumanBeing ,

Nachdem im Titel der Frage bereits das Schlagwort "Keplersche Gesetze" fällt, würde ich es aber dennoch so lösen. Es liegt nahe, dass diese zuvor behandelt wurden und es so gedacht ist. Außerdem ist die Berechnung sehr einfach und für elliptische Bahnen "exakter", als über eine Kreisbahn zu nähern.

Kommentar von LeroyJenkins87 ,

du hast natürlich recht. Ich würde dem Fragesteller auch eher den Lösungsweg mit dem Keplerschen Gesetz empfehlen. Ich habe es irgendwie überlesen (wie auch immer das möglich ist wenn es im Titel steht...)

Kommentar von LeroyJenkins87 ,

Dann muss man ein paar Annahmen treffen, damit man das ausrechnen kann. Wir gehen mal davon aus, dass es sich bei den 11 Jahren und 315 Tagen um Erdenzeit handelt. Denn für Jupiter wäre das natürlich genau 1 Jahr, um einmal um die Sonne zu kommen.

Darüber hinaus muss man davon ausgehen, dass sich die Sonne nicht bewegt und die Umlaufbahn ein perfekter Kreis ist. Sonst macht auch die Frage, wie weit es entfernt ist, keinen Sinn. Diese ändert sich natürlich auf einer elliptischen Umlaufbahn.

Dann kannst du es so rechnen:

v=13,1km/s = 47160km/h

t = 11 Jahre 315 Tage = 4330 Stunden (ohne Schaltjahre)

s = v*t = 47160 * 4330 = 2'044'202'800 km = U

U = 2r*Pi

r = U/(2*Pi) = 325'344'980km

Kommentar von NoHumanBeing ,

Die Sonne "hat keine", da die Geschwindigkeitsangaben relativ zur Sonne sind. ;-)

Die Sonne hätte beispielsweise eine Geschwindigkeit relativ zum galaktischen Zentrum, das ist hier aber nicht von Interesse.

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