Phasenverschiebungswinkel Kapazität und Unduktivität?

Wieso ist Phasenverschiebung von der Induktivität 90 Grad und die einer Kapazität-90 Grad. Ich würde gerne verstehen wieso das du ist. Also klar wenn man sich das Widerstandsdreieck anguckt sieht man der Blindwiderstand Xc rein imaginär ist und halt einen Ohmische Anteil hat und man daraus erkennen kann, dass das Dreieck einen -90 Grad Winkel hat, weil das Dreieck verkehrt herum ist. Aber wieso ist das auf der Elektrotechnischen Seite so das eine Kapazität sich so verhält. Mit der Induktivität genauso?

Answer 1

[atoemlein]

Ich nehme mal an, dass dich weder Maxwellgleichungen noch Ableitungen und Integrale interessieren. Sondern die Phasenverschiebung als Phänomen.

Also wir reden hier von der Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom in "einer Kapazität" (Kondensator) und "einer Induktivität" (Spule).
Noch genauer: von der Phasenverschiebiung des Stromes gegenüber der Spannung.

• wenn man eine Spule einschaltet, kann der Strom nicht schlagartig ändern, weil sich das Magnetfeld nur langsam aufbauen kann. Und der Aufbau (die Aenderung) des Magnetfelds wirkt der Stromänderung entgegen. Ob das aber plus oder minus 90 Grad ist, ist eigentlich eine willkürliche Festlegung, weil man sagt, dass die Spannung früher ihren Peak erreicht als der Strom ("die Ströme sich verspäten"). Natürlich sieht man es im Zeigerdiagramm (wenn der Strom bei 0 Grad und zunehmend ist, steht die Spannung beim Maximum)

• wenn man einen Kondensator einschaltet, kann die Spannung nicht schlagartig steigen, hingegen ist der (Lade-)Strom am Anfang (bei "leerem" Kondensator) maximal. Der Strom nimmt dann mit zunehmender Spannung ab. Hier kommt also die Spannung "später", bzw. der Strom "eilt voraus".

Answer 2

[Halswirbelstrom]

Beispiel

Für den idealen Kondensator erfolgt die Herleitung des Phasenwinkels analog zur idealen Spule.

LG H.

Answer 3

[Aurel8317648]

Letztlich folgt das alles aus Naturgesetzen, in diesem Fall insbesondere durch die Maxwellgleichungen beschrieben und aus mathematischen Axiomen.

Anschaulich kannst du dir es so vorstellen, dass das Aufladen und Entladen des Kondensators durch die Wechselspannung eine gewisse Zeit braucht und dadurch die entsprechende Zeitverzögerung entsteht.

Ebenso entsteht diese Zeitverzögerung bei der Spule durch Einflüsse wie sie z.B in der Lenzschen Regel beschrieben werden

Answer 4

[m1chak]

Die maxwellgleichungen beschreiben das Phänomen perfekt sind aber nicht besonders anschaulich

wenn man es anschaulich haben will dann kann man einfache Vergleiche heranziehen. zum Beispiel eine Spule versucht immer den aktuellen stromfluss zu halten so dass eine spannungsänderung die eine Änderung des stromflusses zur Folge hat somit immer der stromänderung vorauseilt . deshalb positiver phasenwinkel

Bei einem Kondensator ist es umgekehrt da muss zunächst erstmal Strom fließen bevor sich Spannung aufbauen kann, wie ein wasserfass in das man zuerst Wasser leiten muss bevor es sich füllt. das bedeutet in dem Fall kommt der Strom zeitlich vor der Spannung. da aber die Spannung das Maß der Dinge ist haben wir damit einen negativen phasenwinkel.

Und wenn man dann noch weiß dass bei sinusförmigen Spannungen der Strom genau dann Null ist wenn sich die Spannung nicht ändert dann bedeutet das ja dass der Sinus des Stroms einen 0 durchgang hat wenn der Sinus der Spannung einen hoch oder tiefpunkt hat und damit sind die 90 Grad Winkel erklärt

Hoffe ich konnte das Beispiel etwas anschaulicher gestalten

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Mein Leben lang

Answer 5

[mihisu]

Hmm. Das kommt jetzt ein wenig darauf an, wie viel Mathematik und Physik du beherrscht. Aber im Grunde deshalb...

Du hast einen sinusförmigen Spannungsverlauf mit einer gewissen Frequenz f bzw. einer gewissen Kreisfrequenz ω = 2π ⋅ f gegeben...

$u(t)=\hat{u}\cdot \sin(\omega\cdot t)$

Diese liegt jetzt beispielsweise an einer Kapazität C an. Die Kapazität ist so definiert dass...

$C=\frac{Q}{U}$

... mit der gespeicherten Ladung Q und der Spannung U gilt. Dementsprechend gilt auch bei zeitlich veränderlicher Ladungsmenge q(t) und zeitlich veränderlicher Spannung u(t)...

$C=\frac{q(t)}{u(t)}\quad \rightarrow\quad q(t)=C\cdot u(t)$

Also mit unserem sinusförmigen Spannungsverlauf...

$q(t)=C\cdot \hat{u}\cdot \sin(\omega\cdot t)$

Nun ist die Stromstärke als zeitliche Änderungsrate (zeitliche Ableitung) der Ladungsmenge definiert. [Die Stromstärke gibt quasi an, wieviel Ladung pro Zeit fließt.] Dementsprechend erhält man für den zeitlichen Verlauf der Stromstärke...

$i(t)=\frac{\text{d}q(t)}{\text{d}t}=C\cdot \hat{u}\cdot \cos(\omega\cdot t)\cdot \omega=C\cdot \hat{u}\cdot \omega\cdot \cos(\omega\cdot t)$

Dabei kann man die Cos-Funktion als 90°-phasenverschobene Sin-Funktion darstellen...

$i(t)=\underbrace{C\cdot \hat{u}\cdot \omega}_{\hat{\imath}} \cdot \sin(\omega\cdot t+90°)$

Man kann daher erkennen, dass der Stromverlauf um +90° gegenüber dem Spannungsverlauf verschoben ist. Bzw. ist umgekehrt der Spannungsverlauf um -90° gegenüber dem Stromverlauf verschoben.

$\begin{array}{lcl}u(t)=\hat{u}\cdot \sin(\omega\cdot t)&\text{ bzw. }&\quad u(t)=\hat{u}\cdot\cos(\omega\cdot t-90\degree)\\i(t)=\hat{\imath}\cdot \sin(\omega\cdot t+90\degree)&\text{ bzw. }&\quad i(t)=\hat{\imath}\cdot\cos(\omega\cdot t)\end{array}$

Daran kann man also erkennen, wie die 90°-Phasenverschiebung zwischen Spannung und Stromstärke bei der Kapazität zu Stande kommt.

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Nun ist es so, dass die Rechnungen mit sin-Funktion und cos-Funktion oftmals etwas aufwändiger oder länger sind, und man diese evtl. etwas vereinfachen möchte bzw. kompakter darstellen möchte. Daher bedient man sich bei den komplexen Zahlen und schreibt statt...

$u(t)=\hat{u}\cdot \sin(\omega\cdot t)$

... dann einfach...

$\underline{u}(t)=\hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}$

Umgekehrt kann man den zeitlichen Spannungsvelauf aus der komplexen Größer wieder erhalten, indem man den Imaginärteil bildet. [Bzw. wird auch oftmals mit dem Realteil statt mit dem Imaginärteil gearbeitet.]

$\underline{u}(t)=\hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}=\hat{u}\cdot \left(\cos(\omega t)+\text{j}\cdot \sin(\omega\ t)\right)=\hat{u}\cdot \cos(\omega t)+\text{j}\cdot \underbrace{\hat{u}\cdot \sin(\omega\ t)}_{=u(t)}$

$u(t)=\text{Im}(\underline{u}(t))$

Jedenfalls kann man dann mit den komplexen Zahlen quasi genauso rechnen.

$C=\frac{\underline{q}(t)}{\underline{u}(t)}\quad \rightarrow\quad \underline{q}(t)=C\cdot\underline{u}(t)$

$\underline{q}(t)=C\cdot \hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}$

$\underline{i}(t)=\frac{\text{d}\underline{q}(t)}{\text{d}t}=C\cdot \hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega\,\text{j}$

Nun kann man die imaginäre Einheit j auch als exp(90° j) schreiben...

$\text{j}=0+1\cdot \text{j}=\cos(90\degree)+\sin{90\degree}\,\text{j}=e^{90\degree\,\text{j}}$

Dementsprechend erhält man also...

$\underline{i}(t)=C\cdot \hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega\cdot e^{90\degree\,\text{j}}$

$\underline{i}(t)=C\cdot \hat{u}\cdot \omega \cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot e^{90\degree\,\text{j}}$

$\underline{i}(t)=C\cdot \hat{u}\cdot \omega \cdot e^{\omega t\,\text{j}+90\degree\,\text{j}}$

$\underline{i}(t)=C\cdot \hat{u}\cdot \omega \cdot e^{\left(\omega t+90\degree\right)\,\text{j}}$

Auch hier kann man also wieder die Phasenverschiebung von 90° bzw. den entsprechenden Faktor exp(90° j) zwischen Stromstärke und Spannung nachvollziehen.

Für den komplexwertigen Wechselstromwiderstand erhält man dann übrigens...

$\underline{X_C}=\frac{\text{u}(t)}{\text{i}(t)}=\frac{\hat{u}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}}{C\cdot \hat{u}\cdot \omega\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot e^{90°\,\text{j}}}=\frac{1}{C\cdot \omega\cdot e^{90°\,\text{j}}}$

Also...

$\underline{X_C}=\frac{1}{C\cdot \omega\cdot e^{90\degree\,\text{j}}}=\frac{1}{C\cdot \omega\cdot \text{j}}$

Bzw. ...

$\underline{X_C}=\frac{1}{C\cdot \omega\cdot e^{90\degree\,\text{j}}}=\frac{1}{C\cdot \omega}\cdot e^{-90\degree\,\text{j}}$

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Bei der Induktivität ist die Vorgehensweise ähnlich. Man nimmt sich die definierende Gleichung der Induktivität her... Die Induktivität L ist so definiert, dass gilt...

$u(t)=L\cdot \frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}$

Bzw. dann auch bei komplexwertiger Rechnung

$\underline{u}(t)=L\cdot \frac{\text{d}\underline{i}(t)}{\text{d}t}$

Wenn man da nun eine Stromstärke...

$\underline{i}(t)=\hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}$

... vorgibt, erhält man...

$\frac{\text{d}\underline{i}(t)}{\text{d}t}=\hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega \,\text{j}$

$\underline{u}(t)=L\cdot \frac{\text{d}\underline{i}(t)}{\text{d}t}=L\cdot \hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega \,\text{j}$

Für den entsprechenden Wechselstromwiderstand erhält man...

$\underline{X_L}=\frac{\underline{u}(t)}{\underline{i}(t)}=\frac{L\cdot \hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega \,\text{j}}{\hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}}=L\cdot \omega\cdot \text{j}$

Bzw. in Polarform dann...

$\underline{X_L}=L\cdot \omega\cdot \text{j}=L\cdot \omega\cdot e^{90\degree\,\text{j}}$

Und wenn man...

$\underline{u}(t)=L\cdot \hat{i}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega\,\text{j}$

$\underline{u}(t)=L\cdot \hat{i}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot \omega\cdot e^{90\degree\,\text{j}}$

$\underline{u}(t)=L\cdot \hat{i}\cdot \omega\cdot e^{\omega t\,\text{j}}\cdot e^{90\degree\,\text{j}}$

$\underline{u}(t)=L\cdot \hat{i}\cdot \omega\cdot e^{\omega t\,\text{j}+90\degree\,\text{j}}$

$\underline{u}(t)=\underbrace{L\cdot \hat{i}\cdot \omega}_{=\hat{u}}\cdot e^{\left(\omega t+90\degree\right)\,\text{j}}$

... mit...

$\underline{i}(t)=\hat{\imath}\cdot e^{\omega t\,\text{j}}$

... vergleicht, kann man auch sehen, dass die Spannung um +90° gegenüber der Stromstärke phasenverschoben ist. Bzw. ist umgekehrt dann die Stromstärke um -90° gegenüber der Spannung phasenverschoben.