Passt ein Kreis platzsparender in ein Viereck als ein Viereck in einen Kreis?
Das Ergebnis basiert auf 3 Abstimmungen
5 Antworten
Deine Fragestellung ist ziemlich konfus gestellt. Ich Stelle die Frage einmal so:
1. Nimmt die Quadratfläche einen größeren Anteil an der Fläche ihres Umkreises ein als die Kreisfläche an der Fläche ihres anliegenden Außenquadrates?
2. Sind die Verhältnisse umgekehrt oder
3. Sind die Verhältnisse gleich?
Die Quadratfläche nimmt 0,6366.. mal die Fläche ihres Umkreises ein ( 2*r^2 durch pi mal r^2 ).
Die Kreisfläche nimmt 0,7854.. mal die Fläche ihres anliegenden Außenquadrates ein ( 4*r^2 durch pi*r^2 ).
Es trifft also Fall 2 zu (umgekehrte Verhältnisse).
Kreis in Quadrat:
A(Kreis) = π*r²
a = 2*r
A(Quadrat) = a² = 4*r²
A(Kreis)/A(Quadrat) = (π*r²)/(4*r²) = π/4 ≈ 0,7854
Quadrat in Kreis:
A(Kreis) = π*r²
r² = (a/2)² + (a/2)²
a = r*√(2)
A(Quadrat) = a² = 2*r²
A(Quadrat)/A(Kreis) = (2*r²)/(π*r²) = 2/π ≈ 0,6366
Der größte Kreis, den man in ein Quadrat zeichnen kann, hat einen Flächeninhalt, der etwa 78,54% des Quadrates entspricht. Während das größte Quadrat, das man in einen Kreis zeichnen kann, nur etwa 63,66% des Kreises ausmacht.
So etwas ist doch nicht mit Abstimmung zu beantworten, sondern nur durch Rechnung, wobei es nicht der Ableitung bedarf. Der Verschnitt ist mit geometrischen Mitteln zu ermitteln (Kreisformel, Quadrat - einmal ist der Durchmesser des Kreises gleich Diagonale des Quadrats, das andere Mal gleich Seitenlänge).
Hej tibunn,
wenn Du mit einem Viereck ein Quadrat meinst, wie es bisher von den anderen Mitstreiter verstanden wurde, so lautet meine Antwort auf die in Deiner Überschrift gestellte Frage, in der es um Platzersparnis geht:
Ein Quadrat passt platzsparender in einen Kreis.
@ProfFink hat ja schon netterweise die Verhältnisse dargestellt. Fülle ich also einen Kreis mit einem Quadrat, so erziele ich eine 64 %-ige Passung. Damit verbleiben noch 36 % freie Fläche im Kreis, die man weiter verplanen könnte. Anders herum (Kreis in Quadrat) verblieben nur 21 % Restfläche im Quadrat. Mit meinem Quadrat im Kreis spare ich also mehr Platz als mit einem Kreis in meinem Quadrat.
Nun zu Deinen Abstimmungsfragen:
Ein Kreis passt genauso gut in ein Viereck wie ein Viereck in einen Kreis. Man wird immer etwas Passendes finden, außer es geht hier um eine Geschmacksfrage. Dann wäre die Antwort nicht jedem gleich :)
Liebe Grüße
Achim
Die Fachwelt ist sich einig. Der Kreis passt besser in ein Quadrat als das Quadrat in einen Kreis. - Was bin ich froh, dass ich kein Geisteswissenschaftler geworden bin. Wegen dieser gefundenen Wahrheit wird mich keiner widerlegen wollen. Jetzt kann ich schon mal einen Trinken gehen.
Äh, *grübel*, Du meinst wahrscheinlich, dass die theoretische Möglichkeit besteht, dass ein Rechteck noch besser passen könnte? Das ist mir in der Tat ein paar Rechenzeilen wert:
b = Breite des Rechtecks h = Höhe des Rechtecks
r = Radius des umschreibenden Kreises
r = Wurzel(b^2 + h^2)/2
Rechteckfläche Fr = b*h
Kreisfläche Fk= pi*(b^2 + h^2)/4
Flächenverhältnis V = Fr/Fk = 4*b*h / [pi*(b^2 + h^2)]
Zähler und Nenner werden nun durch b^2 geteilt
V = 4*(h/b) / { pi*[ (1+(h/b)^2] }
Das Höhen-Breitenverhältnis wird nun v = h/b abgekürzt.
V = 4*v / { pi*[ (1+v^2] }
Nun soll die maximale Passung gesucht werden. Dafür kann er Vorfaktor der Optimierungsfunktion weggelassen werden.
Vopt = v / [1 + v^2]
Ableitung mit der Quotientenregel zur Auffindung des Extremums
Vopt' = {1*(1 + v^2) - v*(2*v)} / {1 + v^2}^2 = 0
Die Nullforderung kann nur durch den Zählerterm erfüllt werden:
1 + v^2 - 2*v^2 = 0
1 - v^2 = 0 wird erfüllt mit v = 1
v = h/b = 1 Höhe und Breite müssen gleich sein.
Nun warte ich noch auf eine spitzfindige Bemerkung, ob ich denn nicht anstelle eines Maximums ein Minimum erwischt habe.
Es fehlt noch der Nachweis, dass die Passung jeweils für ein Quadrat optimal ist. ;-)