Frage von xoxoccpp, 32

Nachweis eines Schnittpunktes zweier Funktionsgraphen?

Wie man die Schnittpunkte berechnet, weiss ich, aber wie weist man nach, dass es auch ein Schnittpunkt und nicht nur ein Berührungspunkt ist?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 28

Du hast es mit Funktionen zu tun, die du voneinander subtrahierst. Wenn du die Diffenzgleichungen berechnest, tauchen Wurzeln auf. Je nach Grad haben sie verschiedene Lösungen.
Gibt es gar keine Lösung (Diskriminante negativ und Wurzelexponent gerade), haben die Kurven auch keinen Schnittpunkt.
Gibt es genau eine Lösung (Diskriminante gleich Null), berühren sich die Kurven.
Ab zwei Lösungen gibt es entsprechend viele Schnittpunkte.
Da du von Polynomdivision gesprochen hast, müssten bei dir ja verschiedengradige Funktionen im Spiel gewesen sein.

Antwort
von ReimundAcker, 25

Einige der bisherigen Antworten gelten nur für den Fall, dass es sich bei den beiden Funktionen um Polynome handelt.

Wenn f und g die beiden Funktionen sind, würde ich mir die Funktion h = f - g ansehen. x ist Schnittpunkt von f und g, wenn f(x)  = g(x), also h(x) = 0 ist.

Wenn f und g sich in x nicht bloß berühren, sondern echt schneiden, muss f(u) < g(u) für ein u auf der einen Seite von x und f(v) > g(v) für ein v auf der anderen Seite von x sein. Für h heißt das, dass es bei x das Vorzeichen wechselt. Das ist der Fall, wenn die erste Ableitung h'(x) ≠ 0 ist (oder h bei x einen Sattelpunkt hat, Details siehe z.B. Wikipedia).


Antwort
von Monsieurdekay, 32

Das kannst du wahrscheinlich nur durch Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, beispielsweise durch das Monotonieverhalten. Wenn die eine Funktion z.B. streng monoton steigt und die andere fällt

Kommentar von Monsieurdekay ,

obwohl eigentlich musst du dir ja nur die Funktionswerte um den Schnittpunkt herum anschauen, dann weißt du es auch ;)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 24

wenn sich bei f=g eine doppelte Nullstelle für f-g  ergibt, nur dann ist es ein Berührpunkt.

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