Minimum Beweisen (Bolzano-Weierstraß, Minimum Maximum)?

Hi, ich komm leider bei folgender Aufgabe nicht mit der b) weiter.

Ich hatte zwar eine Idee es über ein Mittelwert durch Widerspruch zu beweisen, aber das bringt mich bei der c) nicht weiter. Da wir uns am Vorlesungsstoff orientieren, nehme ich an wir sollen es mit dem Satz von Minimum und Maximum sowie Bolzano-Weierstraß beweisen.

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe!

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1 Antwort

Jangler13

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik, Beweis, Analysis

03.01.2023, 16:26

Versuche eine Folge zu finden, dessen Folge der Funktionswerte gegen m konvergiert (die Folge muss also nicht unbedingt konvergieren, nur die Funktionswerte konvergieren)

Tipp: da m das infimum ist, existiert für jedes e>0 ein x aus [a,b], sodass f(x) < m+e gilt (wieso?)

Nutze nun Bolzano Weierstraß und die Stetigkeit von f, um zu zeigen, dass es ein x gibt, sodass f(x)=m gilt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

TBDRM

03.01.2023, 17:00

Kannst du mir erklären, wie man das Konzept der Folgen auf so eine Aufgabe anwenden kann?

Jangler13

03.01.2023, 17:05

@TBDRM

Hab dir eine Rivate Nachricht geschrieben.

User010101

Fragesteller

03.01.2023, 19:52

Danke für die Hilfe! Ich habs jetzt wie folgt gemacht: "Die Stetigkeit von f ist gegeben. Da inf y[a,b] f(y)> -(undendlich) ist f nach unten beschränkt. Mit a<=Xm<=b gibt es nach Bolzano-Weierstraß eine konvergierende Teilfolge {Ynk}n=1,undendl. mit Xm als Grenzwert. => f(Xm)=f(limYnk)=limf(Ynk)=m

Jangler13

03.01.2023, 19:57

@User010101

Nein, du sollst erst eine Folge finden, dessen Funktionswerte gegen m konvergieren. Das fehlt bei dir.

User010101

Fragesteller

03.01.2023, 20:16

@Jangler13

Der Funktionswert von Xm ist ja m. Wenn die Teilfolge Ynk (bzw. Xnk) gegen Xm konveriegt, dann konvergieren doch die Funktionswerte gegen m

Jangler13

03.01.2023, 20:17

@User010101

Du setzt also voraus, dass es ein Punkt gibt, wo der Wert m ist. Das darfst du nicht, da das genau das ist, was du zeigen sollst.

User010101

Fragesteller

03.01.2023, 20:27

@Jangler13

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*/

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//true
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