Maximierungsaufgaben - Mathe
Hallo zusammen,
hat jemand eine super Erklärung für Maximierungsaufgaben? Wie man da vor geht und diese berechnet? Oder eine Seite, auf der man das gut nachlesen kann?
Danke + Gruß Denise
3 Antworten
- Allgemeine Formulierung und die
- Bestimmung eines Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt bei vorgegebenem Umfang als Beispiel:
Eine Hauptbedingung beschreibt eine Zielgröße , die von mehr als einer Variable, also den Variablen x1, ...xn abhängt.
- Beispiel: Die Fläche A eines Rechtsecks ist Länge x1 = a mal Breite x2 = b;
- A = a * b hängt also von zwei Variablen ab.
Eine oder mehrere Nebenbedingung(en) beschreiben eine Beziehung der Variablen x1,...,xn untereinander. Durch eine Kombniation der Nebenbedingungen lässt sich erreichen, dass alle Variablen nur noch von einer abhängen.
- Beispiel: Der Umfang u des Rechtecks ist fest vorgegeben: u = 2a + 2b. Dann kenne ich b, wenn ich a kenne, denn es ist b = (u - 2a)/2 = u/2 - a
Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung ergibt die Zielfunktion, die nur noch von einer Variable abhängt.
- Beispiel: A = a * b = a * (u/2 - a) = au/2 - a²; so hängt die Fläche nur noch von a ab.
Für die Zielfunktion wird ein Definitionsbereich festgelegt.
- Beispiel: a kann nicht < 0 sein und nicht > u/2 (denn sonst ist b = u/2 - a < 0, was auch nicht sein kann). Also ist D = [0, u/2] ein sinnvoller Definitionsbereich für die Zielfunktion.
Mit Methoden der Kurvendiskussion kann ein Maximum der Zielfunktion bestimmt werden, falls dieses existiert, ist es das gesuchte, wenn es nur eins gibt. Wenn es mehrere gibt, ist es das (bzw. sind es die) mit dem höchste Funktionswert; das sind aber nur endlich viele, und also lässt sich das ausprobieren.
- Beispiel: Die Zielfunktion A = au/2 - a² wird nach a abgeleitet, d.h. a wird als Variable betrachtet, u als Konstante:
A' = dA / da = u/2 - 2a;
A'' = d²A / da² = -2
A' = 0 ⇒ u/2 -2a = 0 ⇒ a = u/4;
A'' < 0 für alle a, also ist bei a = u/4 das gesuchte Maximum von A (und es gibt in diesem Fall nur eines).
Wenn die Kurvendiskussion kein Maximum ergibt, kann ein Maximum an einem Rand des Definitionsbereichs liegen.
- (anderes) Beispiel: Die Zielfunktion y = 3 -x hat im Definitionsbereich [1; 2] kein Maximum, denn die Ableitung y = -1 hat nirgendwo eine Nullstelle.
Das Maximum ist am linken Rand x = 1 des Definitionsbereichs, weil die die Zielfunktion überall in ihrem Definitionsbereich streng monoton fällt und deswegen bei x = 1 am größten ist.
Mit der / den Nebenbedingung(en) werden die anderen Variablen ausgerechnet.
- (Rechtecks-) Beispiel: b = u/2 - a = u/2 - u/4 = u/4 = a
Ergebnis: Von allen Rechtecken mit vorgegebenem Umfang u hat dasjenige den größten Flächeninhalt, bei dem die Länge so groß wie die Breite ist, und beide ein Viertel des Umfangs. (Das ist das Quadrat mit dem vorgegebenen Umfang.)
Also im Prinzip drückst du zuerst einmal dein zu optimierendes Problem mit einer Formel aus (z.B. Flächsnberechnung Rechteck unter einem Graphen f(x)=5x - 2. A=a*b oder Rechteck aus einem Seil formen, so dass Fläche maximal wird A=ab).Gefragt ist zum Beispiel wie du den Punkt a wählen musst, damit die Fläche maximal wird. Nun suchst du nach Informationen, die dir gegeben sind, mit denen du deine Anzahl der Variablen auf eine Variable verkürzen kannst. Zum Beispiel könnte das sein:
1.) der Punkt a beschreibt die eine Seite auf der x-Achse, dann beschreibt die Länge b genau f(a) (also die Seite die senkrecht auf a steht)
2.) du weisst, dass das Seil insgesamt 100 Meter lang ist. Also: a+b=100
damit kannst du dann eine Funktion des Flächeninhaltes aufstellen, welche nur von einer Variablen abhängt. Also:
1.) es gilt: A(a) = ab = af(a) = a*(5a-2) = 5a^2-2a
2.) du setzte b = 100-a in A=ab ein, also:
A(a) = a * (100-a) = 100a - a^2
So, nun haben wir also die funktion aufgestellt. wenn wir diese nun ableiten, diese dann gleich null setzen und dann a ausrechnen, dann habrn wir den Punkt a gefunden, bei dem die Fläche maximal/minimal ist oder einen sattelpunkt hat. deshalb muss man dann noch die zweite ableitung bestimmen, a einsetzen und schauen, ob die zweite anleitung groesser oder kleiner 0 ist.
Also:
1.) A'(a) = 10 a - 2
Wenn wir das gleich null setzen, bekomme wir a = 2/5 heraus.
Die zweite Ableitung ist A''(a) = 10
Wenn wir da a einsetzen kommt 10 heraus (kommt fuer jedes a heraus), weshalb also bei a=2/5 ein Minimum existierz. also wissen wir: Bei a=2/5 wird die flaeche minimal. (Beantwortet zwar nicjt unsere ausgangsfrage, aber das beispiel ist ja auch gerade erfunden!)
2.) A'(a) = 100 - 2a gleich null setzen ergibt a = 50
A''(a) = -2
also ist die zweite ableitung immer kleiner null (also auch fuer a=50) und somit liegt da ein maximum vor. heisst also: wenn wir unser rechteck so bauen, dass die eine seite 50 lang ist, so haben wir maximalen flaecheninhalt... da das seil 100m lang ist, handelt es sich also um ein quadrat!
Konnte ich dir helfen? Ist deine Frage beantwortet?
Das Rechteck ist der Klassiker unter den Extremwertaufgaben :-D
Suchst Du von einer Funktion f(x) ein Extremum, so musst Du die Ableitungsfunktion f '(x) Null setzen und nach x auflösen. Ein Maximum liegt vor, wenn die 2. Ableitung f "(x) für diesen x-Wert negativ ist, Minimum falls positiv.
Da hatte jemand eine ganz ähnliche Idee... ;)