Matrizen, multiple choice Frage?
Kann mir einer erklären warum die jeweiligen Antworten falsch oder wahr sind?
L(A,B) ist die Menge der linearen Abbildungen von A nach B.
Steig da leider nicht ganz durch, danke
1 Antwort
Damit es nicht untergeht, hier auch noch mal als eigene Antwort:
(A) ist falsch: Gesucht ist die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren von A. Durch die elementaren Zeilenumformungen ändert sich diese Anzahl nicht. In der umgeformten Matrix gibt es genau zwei linear unabhängige Vektoren (den letzten Vektor darf man dabei nicht betrachten, der geht ja nicht aus A hervor sondern aus b). Also hat der Kern von A die Dimension 2 und nicht 3.
(B) ist falsch: Nach dem Rangsatz ist die Anzahl der Spalten von A gleich der Summe aus der Dimension des Kerns von A und dem Rang von A. D. h. es gilt
dim(ker(A))= 7-2 = 5 und das ist nicht 4.
(C) ist richtig: Die Lösungsmenge von A|b und der umgeformten Matrix A'|b' sind gleich. Da in der letzten Zeile nur Nullen stehen (bis auf den letzten Eintrag), kann es keinen Vektor geben, der diese Gleichung erfüllt. Sei nämlich
x= (x_1, ... , x_7) so ein Vektor. Völlig unabhängig, was in den beiden oberen Zeilen bei der Multiplikation von A'x herauskommt, der letzte Eintrag ist immer Null. Damit x aber eine Lösung von A'x = b' wäre, müsste der letzte Eintrag 1 ergeben, das kann hier aber nicht sein.
(E) ist falsch: In B haben wir gezeigt, dass der Kern die Dimension 5 hat, in C dass die Lösungsmenge leer ist (also die Dimension 0 hat). Beides gleichzeitg kann nicht sein.