Mathematik Gruppe und Untergruppe?
Sei G endlich. Zeigen Sie, dass dann gilt:
|G| = |G/ ∼U | · |U| .
G ist eine Gruppe mit einer Untergruppe.
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich das zeigen soll, jedoch verstehe ich auch nicht so ganz, was das grundsätzlich bedeuten soll.
Es erschließt sich mir nicht, warum die Mächtigkeit der Untergruppe multipliziert mit der Mächtigkeit der Menge der Äquivalenzklassen die Mächtigkeit von G sein soll, schon rein vom Verständnis her.
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
1 Antwort
Vielleicht hilft dir das: Zwei Äquivalenzklassen sind gleichmächtig, d. h. jede einzelne Nebenklasse hat soviel Elemente wie U. Zwei Äquivalenzklassen sind außerdem disjunkt (wenn sie nicht gleich sind). Und jedes Element von G ist in mindestens einer Klasse enthalten.
Das heißt erstens: Die Menge der Äquivalenzklassen ist eine Partition von G. Damit hat man schon mal, dass die Summe der Mächtigkeiten der Äquivalenzklassen gerade die Mächtigkeit von G ist. Da diese Äquivalenzklassen jetzt auch noch gleichmächtig sind, heißt das, dass die Mächtigkeit von G gleich der Anzahl der Äquivalenzklassen mal der Mächtigkeit einer beliebigen dieser Äquivalenzklassen ist. Und da U eine dieser Äquivalenzklassen ist, hast du damit deine Aussage.