Mathematik Extremwertaufgabe?
Eine Baumarktkette verkauft monatlich 1100 Stück zum Stückpreis von 30 €. Die Marketingabteilung hat untersucht das sich Senkung des Preises um einen Euro der Absatz sich um 50 Stück erhöhen würde. Berechnen Sie den Stückpreis, bei dem die monatlichen Einnahmen am größten sind. Wie hoch sind die Einnahmen?
Kann mir einer diese Aufgabe erklären?
2 Antworten
Hallo,
ist doch klar:
pro Euro Preissenkung wirst Du 50 Einheiten mehr los.
Die Einnahmen errechnen sich aus dem Produkt von verkauften Einheiten und dem Stückpreis.
Preis einer Einheit: 30-x
Davon abhängige Verkaufsmenge: 1100+50x
Einnahmen:
(1100+50x)*(30-x)
Das ist gleichzeitig die Funktionsgleichung, zu der für 0<=x<=30 ein Maximum gesucht werden soll. Nur in diesem Intervall ist die Funktion sinnvoll, denn Du wirst den Umsatz nicht erhöhen, wenn Du den Preis steigerst und mehr als die Sachen verschenken kannst Du auch nicht.
E(x)=(1100+50x)*(30-x)
Die Extremwerte bestimmst Du über die erste Ableitung:
f'(x)=50*(30-x)-(1100+50x)=1500-50x-1100-50x=
=400-100x
Das setzt Du auf Null:
100x=400
x=4
Hier ist also ein Kandidat für ein Maximum, wenn f''(4) unter Null ist.
f''(x)=-100
-100 ist auf jeden Fall kleiner als Null, bei x=4 liegt also tatsächlich ein Maximum.
Wenn Du die Dinger also für 30-4=26 Euro pro Stück verkaufst, wirst Du 1100+4*50=1300 davonn los und nimmst 1300*26=33800 Euro ein.
Mehr ist nicht drin.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich übernehme mal die Erlösfunktion von willy1729:
E(x) = (1100 + 50x)·(30 - x)
Zur Bestimmung des Maximums hätte ich zwei weitere Vorgehensweisen - für den Fall, dass Ihr noch keine Ableitungen hattet.
1. Du multiplizierst die Klammern aus und überführst die dabei entstehende Normalform der quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform; dann kannst Du die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen und hast so die Menge mit maximalem Erlös und den zugehörigen Umsatz. Den Preis kannst Du dann über die Preisfunktion berechnen.
2. Aus der faktorisierten Form der Erlösfunktion kannst Du ruckzuck die Nullstellen ablesen (Satz vom Nullprodukt; x = -22 bzw. x = 30).
Der Scheitelpunkt der (quadratischen) Parabel liegt IMMER genau zwischen den Nullstellen, also bei x = 4. Damit kommst Du dann alleine weiter :-)