Mathematik?

Hallo, kann mir jemand bitte bei Beispiel 2 helfen? Komme da echt nicht weiter. Ich verstehe auch Differentialrechnung auch überhaupt nicht. Wie funktioniert das ich verstehe es einfach nicht

Answer 1

[evtldocha]

1) In der "Wissen:" - Box ist ärgerlicherweise ein Fehler in der Spalte "begrenztes Wachstum". Dort steht in Zeile, in der die Differenzialgleichung stehen soll, anstelle der Ableitung f'(t) nur f(t) und damit keine Differenzialgleichung. Korrekt müsste es dort heißen:

$f'\left(t\right)=k\cdot(S−f(t))$

2) In Beispiel 2 a) musst Du nur ablesen, wie es in der Wissen-Box steht, da ja eine Lösung gegeben ist:

$f\left(t\right)=4\cdot e^{-0,2t\ }=\ a\cdot e^{kt}\ \ \rightarrow\ k=-0,2\$

Also ist die zugehörige DGL (wieder mit der Wissen-Box vergleichen)

$f'\left(t\right)=-0,2\cdot f\left(t\right)$

Probe (mit der Ableitung der Lösung)

$f'\left(t\right)=\left(4e^{-0,2\cdot t}\right)'=-0,2\cdot4e^{-0,2\cdot t}=-0,2\cdot f\left(t\right)$

Beispiel 2 a) Für g gehst Du analog vor in dem Du analog zu oben mit der Spalte "begrenztes Wachstum" vergleichst

Beispiel 2 b) ist das für g, was ich oben schon mal als "Probe" für f gemacht hatte.

Nachtrag nach Kommentaren

Die Differenzialgleichung für die Funktion "g" lautet (Rest aus Aufgabe a):

$g'\left(t\right)=0,1\cdot\left(7-g\left(t\right)\right)$

Beispiel 2 b) Ableitung der im Text gegebenen Lösung:

$g'\left(t\right)=\left(7+2e^{-0,1t}\right)'=-0,1\cdot2e^{-0.1t}=-0,1\cdot\left(g\left(t\right)-7\right)=$ $-0,1\cdot\left(-1\right)\cdot\left(7-g\left(t\right)\right)\ =0,1\cdot\left(7-g\left(t\right)\right)$

Die Ableitung der Lösung erfüllt also die DGL.

Comments

[Josua554]

Ist bei a g‘(t)=-0,1*g(t)?

[evtldocha]

@Josua554

Nein - da steht ja auch noch ein "S", das auch noch in der Differenzialgleichung wiederkehrt. Du musst schon mit der Differenzialgleichung in der Spalte "begrenztes Wachstum" vergleichen. Das "S" ist in der gegebenen Lösung ist "7". Also solltest du zu g‘(t) = -0,1·(7 - g(t)) kommen.

[Josua554]

Ich weiß immer noch nicht, was ich bei n machen soll

[evtldocha]

@Josua554

Ich weiß immer noch nicht, was ich bei n machen soll

Von welchem "n" sprichst Du?

[Josua554]

@evtldocha

Sorry b? Wie soll ich es da machen?

[evtldocha]

@Josua554

Wie soll ich es da machen?

Habe ich Dir doch geschrieben. Du machst das gleiche, wie ich in der Probe zu a) jetzt für die Funktion "g" (statt f) und schaust, ob Du auf die Differenzialgleichung kommst

Manchmal denke ich echt, ich schreibe meine Antworten total umsonst und es geht den Leuten nur ums Abschreiben einer Lösung. Wäre auch OK, wenn jemand das klipp und klar sagen würde.

[Josua554]

@evtldocha

Ja ich will einfach nur die Aufgabe verstehen und nicht die Lösung vorhergesagt bekommen

[Josua554]

@evtldocha

Kommt was anderes heraus. Es kommt -0.1*2*e^-0.1t

[Josua554]

@Josua554

Oder bin ich da jetzt falsch

[evtldocha]

@Josua554

Der Trick bei b) ist, dass man die Lösung auch umschreiben kann:

2·e^-0,1t = g(t) - 7

und daher in der Ableitung 2·e^-0,1t durch g(t) - 7 ersetzen kann. Wenn man dann noch ein ( - 1) ausklammert, hat man genau die Differenzialgleichung

Achtung: Ich habe ganz oben im ersten Kommentar ein Minus zu viel geschrieben: g‘(t) = 0,1·(7 - g(t))

[Josua554]

@evtldocha

Welche minus 1

[evtldocha]

@Josua554

Ich habe einen Nachtrag in die Antwort geschrieben, der nun alle meine Kommentare zusammenfasst.

[Josua554]

−0,1⋅(−1)⋅(7−g(t))  warum wechselst du das in der Klammer

[evtldocha]

@Josua554

Ich habe (-1) ausgeklammert, also stünde da ( - g(t) + 7) und das darf ich nach dem Kommutativgesetz der Addition auch vertauschen. Und das mache ich, damit es am Ende genau so da steht, wie ich es haben will, damit man sofort erkennt, dass es die DGL erfüllt.