Mathematik - bestimmtes Integral, kommt null raus
Ich habe das bestimmte berechnet und dabei kommt "0" raus. Was sagt mir es? Und warum ist "0" richtig?
6 Antworten
Hallo! :)
Es kann durchaus sein, dass beim Integrieren null heraus kommt, wenn man z.B. eine Funktion dritten Grades vorliegen hat, bei dem zwei gleich große Flächeninhalte von der x-Achse eingeschlossen werden, die eine Fläche sich jedoch über, die andere unterhalb der Achse befindet! :)
Damit wäre ein Flächeninhalt im Prinzip negativ, die beiden gleichen sich aus und werden null!
Man kann dieses Problem auf zwei verschiedene Varianten umgehen:
- immer nur von Nullstelle zu Nullstelle berechnen und nicht eine Nullstelle in der Mitte überspringen; den negativen Flächeninhalt dabei als Betrag berechnen bzw. als ebenfalls positiven zum ersten addieren
- einfach gleich vor alle Rechenschritte Betragsstriche setzen (im Taschenrechner muss man bei uns vor das Integral mit Funktionsgleichung ein "abs" setzen und dann die Rechnung dahinter in Klammern, ich weiß aber nicht, ob das bei euch auch so ist) :D
Man kann sich die Tatsache, dass sich positive und negative Flächeninhalte ausgleichen, jedoch auch bei manchen Aufgaben zunutze machen, wenn es z.B. darum geht, bei einer Funktionenschar zu bestimmen, für welchen Scharparameter der Flächeninhalt unter der x-Achse genau so groß ist wie derjenige oberhalb - man muss dann einfach das Integral von der linken zur rechten Nullstelle (ohne die mittlere, die auch den Symmetriepunkt einer Funktion dritten Grades darstellt) gleich null setzen und dann nach k (oder wie auch immer der Scharparameter in der jeweiligen Aufgabe heißt) auflösen! :)
Ich hoffe, ich konnte dir mir meiner Antwort ein wenig behilflich sein. :)
LG Wunderkerze2012
Ab Man kann dieses Problem auf zwei verschiedene Varianten umgehen ist die Antwort mathematisch verwaschen. Der Teil davor ist OK.
Die** Berechnung der Summe der Beträge der Teilflächen** ist, wie auch dargestellt, ein Problem, das man durch die Bestimmung der Nullstellen von f(x) im Intervall a,b und mit Hilfe der Berechnung der bestimmten Integrale in den Teilintervallen lösen kann. Es ist aber ein anderes Problem als in der Frage angesprochen.
Stell dir vor, der Graph stellt die Geschwindigkeit dar, und die Stammfunktion dementsprechend den Weg. Das Integral sagt dir, dass der Weg am Ende 0 ist, da selbe Strecke vorwärts und rückwärts zurückgelegt wird.
Schlicht gesagt: Die Flächen sind gleich groß.
Also zunächst einmal kann dir hier niemand sagen, warum 0 richtig ist.
Häufig vergisst man, dass man stückweise mit den Nullstellen als Grenzen integrieren muss. Sonst ist das so wie wenn du Guthaben (Fläche über der x-Achse) mit Schulden (Fläche unter der x-Achse) gegenrechnest. Zum Beispiel bei der Sinusfunktion solltest du das beachten, sonst kann 0 herauskommen.
Das Bestimmte Integral ist so definiert, dass auch Null heraus kommen kann. Die Definition ist etwa diese: Ist F(x) die Stammfunktion zur Funktion f(x), d.h. ist dF(x)/dx = f(x), dann ist das Bestimmte Integral von f(X) in den Grenzen a (untere Grenze) und b (obere Grenze) gegeben durch F(b)-F(a). Weil unter der x-Achse die y-Werte negativ sind, sind die Anteile von Flächen unter der x-Achse dabei negativ! Wenn nun die Gesamtflächen über der x-Achse genau so groß sind wie die Beträge der Flächen unter der x-Achse wird das bestimmte Integral Null. Hast du also keinen Rechenfehler gemacht, so ist dein Ergebnis richtig!
Die Frage nach der Summe der Beträge der Flächeninhalte zwischen f(x) und der x-Achse in den Grenzen a und b ist eine ganz andere! Dann muss man i.A. die Nullstellen der Funktion f(x) bestimmen und alle Flächeninhalte zwischen den Nullstellen bestimmen (rechts und links natürlich ab a bzw. bis b). Danach sind dann die einzelnen Flächeninhalte betragsmäßig zu addieren. Es gibt einige Sonderfälle die durch einfache Überlegungen leichter zu lösen sind, z.B. ungerade Funktionen, bei denen f(x) = -f(-x) gilt, in den Grenzen -a bis a, oder periodischer Funktionen, bei denen man im Allgemeinen die Nullstellen kennt (bei der Sinusfunktin z.B. sind die Nullstellen z.B. bei n*pi).
Woher sollen wir das wissen? Wir wissen weder die Aufgabe noch ungefähr, worum es geht.
- vielleicht ist deine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung und deine Intervallgrenzen ebenfalls
- vielleicht ist deine Funktion identisch 0
- vielleicht ist dein Weg, über den du integriert hast, nullhomotop