Matheaufgabe bezüglich Primzahlen, ist meine Antwort wirklich falsch?
Gesucht sind alle Quadrupel (a, b, c, d) aus Primzahlen, die folgende Gleichung erfüllen:
0=24a - 36b + 6c + 8d - 4
Wir finden nur als Lösung, dass a = 2, b = 2, c = 2, d = 2 ist.
Aber dies wird als Antwort falsch angegeben.
Hilfe bitte!!
2 Antworten
Wie ist die genaue Formulierung der Aufgabe?
So, wie es da steht, habt ihr recht - (2,2,2,2) ist das einzige Tripel aus Primzahlen (allerdings nicht verschiedenen) - für das die Gleichung erfüllt wird.
Definition einer Primzahl: natürliche Zahl größer als 1, die nur sich selbst und 1 als positive Teiler besitzt.
Begründung: Angenommen, es gilt.
0=24a - 36b + 6c + 8d - 4
Das ist - nach Teilen durch 2 - gleichbedeutend mit
0 = 12 a - 18 b + 3c + 4d - 2.
Das kann ich umstellen:
3c = -12a + 18b - 4d + 2.
Rechts steht eine Summe aus lauter geraden Summanden, insgesamt also eine gerade Zahl. Also muss auch links eine gerade Zahl stehen, wenn c eine Primzahl sein soll, muss also c = 2 sein, denn eine andere gerade Primzahl gibt es nicht.
Das kann ich in die Gleichung einsetzen:
6 = -12a + 18b - 4d +2
was dasselbe ist wie
0 = -12a + 18b - 4d - 4.
Auch diese Gleichung kann ich durch 2 teilen:
0 = -6a + 9b - 2d - 2
Das kann ich auch wieder umstellen zu
9b = 6a + 2d + 2
Wie eben stehen rechts nur gerade Summanden, also muss auch 9b gerade sein, also ist auch b=2.
Das setze ich wieder ein :
18 = 6a + 2d + 2
d. h.
16 = 6a + 2d. Ich teile wieder durch 2
8 = 3a + d.
Offenbar ist a = d = 2 eine Lösung dieser Gleichung. Andere kann es nicht geben, da 2 die kleinste Primzahl ist und jedes anderes Paar (a, d) aus Primzahlen einen größeren Wert für 3a+d geben würde.
Also: (2,2,2,2) ist das einzige Primzahlquadrupel, das die Gleichung erfüllt. Wird nach vier verschiedenen Primzahlen gefragt, so gibt es kein Primzahlquadrupel, das die Gleichung erfüllt.
Deine gefundene Lösung ist richtig.
Aber vermutlich sind 4 verschiedene Primzahlen gefordert.