Warum gilt das bei der Teilbarkeit der 6er Reihe?
Wir sagen n ist die Anzahl an Steinen.
Wenn n alle vielfache von 6 sein kann( 6;12;24...), und es 2 Spieler gibt, die abwechselnd entweder die Hälfte ein Drittel oder zwei Drittel der Steine wegnehmen, für welche der Zahlen kann Spieler A (fängt an) gewinnen?( Wenn man keine Möglichkeit mehr hat, Steine wegzunehmen hat man verloren)
Meine Lösungsansätze:
Bei den meisten vielfachen von 6 ( z.B. 6;12;18) gewinnt A, allerdings gibt es auch Außnahmen, wie zum Beispiel 36. Warum?
2 Antworten
Zerlege n in Primfaktoren. Interessant ist dabei nur, wie oft der Faktor 3 drinsteckt. Solange n durch 3 teilbar ist, kann man ziehen. Übrig bleibt dann eine Anzahl mit einem Faktor 3 weniger (und evtl. eine 2 mehr). Verloren hat man, wenn n nicht durch 3 teilbar ist.
A gewinnt also immer, wenn n eine ungerade Potenz von 3 enthält. Und da n durch 6 teilbar sein soll, kommt noch (mindestens) ein Faktor 2 dazu:
n = 2·(3j−1)·3²ᵏ⁻¹ oder 2·(3j−2)·3²ᵏ⁻¹ für j, k ∊ ℕ
2k−1 ist eine ungerade Zahl, und alle Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind, haben die Form 3j−2 oder 3j−1. Da ist nichts Besonderes dabei.
Man muss nur beachten, dass j·3²ᵏ⁻¹ nicht reicht, um eine ungerade Potenz von 3 zu erzwingen, denn ein beliebiges j könnte ja noch einen Faktor 3 beisteuern.
Ein Spieler kann aber auch die Hälfte der Steine wegnehmen, hast du das mit einberechnet?
Das habe ich komplett übersehen. Hast du die Frage bearbeitet?
Nein habe ich nicht. Sonst würde es aber auch dastehen.
Mit der Hälfte als Option wird die Sache etwas schwieriger. Ich denke nochmal drüber nach.
Interessant ist dabei nur, wie oft der Faktor 3 drinsteckt.
Ist halbieren irrelevant?
36 = 6² ^^
😔
Bei den meisten vielfachen von 6 ( z.B. 6;12;18) gewinnt A, allerdings gibt es auch Außnahmen, wie zum Beispiel 36. Warum?
Aber das ist nicht der Grund. Wie willst du dann z.B. 54 begründen?
Schau dir mal die Primfaktorzerlegung der Zahlen an und überleg dir, was genau die Aktionen mit den Primfaktoren machen ^^
Ein equivalentes Spiel ist: Es liegen m grüne und n rote Münzen in der Mitte. Man kann entweder eine gründe wegnehmen, eine rote wegnehmen, oder eine grüne wegnehmen und eine rote dazulegen. Wer nichts mehr davon machen kann, verliert.
Ich habe bereits bei allen Zahlen die primfaktorzerlegung durchgeführt, aber das Problem ist, dass ich keine Regelmäßigkeit entdecke...
Kannst du mir bitte helfen?
Danke! Kannst du mir bitte erklären wie du auf die Formel gekommen bist?