Mathe Steckbriefaufgaben?
Bei mir kommt irgendwie ein falsches Ergebnis raus und bei den Lösungen steht kein Rechenweg. Kann jemand die a lösen (mit Rechenweg )damit ich das nachvollziehen kann.
Danke
1 Antwort
Da der Graph 2 Extremwerte hat, muss der Grad der Funktion mindestens 2 sein.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades ist
[1] f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Die erste Ableitung von f ist dann gegeben durch
[2] f'(x) = 3ax² + 2bx + c
Aus dem Graphen lassen sich folgende Gleichungen entnehmen:
[3] f(0) = –2 da H(0|–2) auf dem Graphen liegt
[4] f(2) = –6 da T(2|–6) auf dem Graphen liegt
[5] f'(0) = 0 da f bei x=0 ein relatives Maximum hat
[6] f'(2) = 0 da f bei x=2 ein relatives Minimum hat
Ersetzen der linken Seiten von [3] bis [6] durch die rechten Seiten von [1] bzw. [2] und Einsetzen von x durch das jeweilige Argument von f bzw. f' ergibt
[3.1] a·0³ + b·0² + c·0 + d = –2
[4.1] a·2³ + b·2² + c·2 + d = –6
[5.1] 3a·0² + 2b·0 + c = 0
[6.1] 3a·2² + 2b·2 + c = 0
und nach Umformung
[3.2] d = –2
[4.2] 8a + 4b + 2c + d = –6
[5.2] c = 0
[6.2] 12a + 4b + c = 0
Daraus folgt durch Einsetzen von [3.2] in [4.2] sowie [5.2] in [4.2] und [6.2], nach Umstellung:
[7] 8a + 4b = –4
[8] 12a + 4b = 0
Die Subtraktion beider Seiten der Gleichung [7] von denen der Gleichung [8] ergibt
[9] 4a = 4
bzw.
[9.1] a = 1
und dies eingesetzt in [7] ergibt
[10] 8·1 + 4b = –4
bzw.
[10.1] 4b = –12
oder
[10.1] b = –3
Probe (ob a, b, c, d eingesetzt in [1] und [2] die Werte aus [3], [4], [5] und [6] ergeben):
f(0) = a·0³ + b·0² + c·0 + d
= 1·0³ + (–3)·0² + 0·0 + (–2)
= –2
f(2) = a·2³ + b·2² + c·2 + d
= 1·2³ + (–3)·2² + 0·2 + (–2)
= 8 – 12 + 0 – 2
= –6
f'(0) = 3a·0² + 2b·0 + c
= 3·1·0² + 2·(–3)·0 + 0
= 0
f'(2) = 3a·2² + 2b·2 + c
= 3·1·2² + 2·(–3)·2 + 0
= 12 – 12
= 0
Bitte nachrechnen!