Mathe Kombinatorik 5 Lampen?
Hallo ich bräuchte eure hilfe die aufgabe lautet :
In einem zimmer gibt es 5 Lampen, die Unabhängig voneinander aus-und eingeschaltet werden können. Wie viele Arten der Beleuchtung gibt es insgesamt?
Das problem ist die Lösung ich verstehe nicht wie die Lösung zu stande kommt (Lösung siehe bild)
Vielen dank für eure hilfe
Lg jenni
3 Antworten
Der Ansatz im Bild ist der, dass alle Möglichkeiten, dass keine Lampe brennt, dass eine Lampe brennt u.s.w. addiert werden.
Diese Summe ist für n Lampen gleich 2^n.
Dass dies so ist, kann man sich entweder mathematisch herleiten, oder anschaulich.
Bei einer Lampe hast du 2 Möglichkeiten (ein oder aus). Wenn du eine weitere Lanpe hinzufügst, verdoppeln sich die Möglichkeiten jeweils, da zu jedem Zustand der ersten Lampe zwei der zweiten Lampe kommen.
Geht es dir um den Ansatz oder um die Umformung, die in der Lösung gemacht wird?
k ist hier wohl die Anzahl der leuchtenden Lampen. Diese Anzahl kann zwischen 0 und 5 sein. Und für k leuchtende Lampen gibt es (5 k) Möglichkeiten die 5 Lampen anzuordnen.
jetzt hab ichs verstanden, vielen dank wenn man so darüber nachdenkt ist es sogar logisch und warum ist das Ergebnis 2 hoch 5
Kennst du den binomischen Lehrsatz? https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomischer_Lehrsatz_f%C3%BCr_nat%C3%BCrliche_Exponenten
Setze x=y=1 und n=5, dann kriegst du genau die nötige Aussage. ;)
(n über k) gibt die Möglichkeiten an k-Elemente aus n-Elementen zu ziehen, bzw. k-Elemente auf n-Plätze zu verteilen, bzw., um bei der Aufgabenstellung zu bleiben, k-Lampen von insgesamt n-Lampen leuchten zu lassen. Die ganzen Anzahlen müssen dann addiert werden, d. h. die Anzahl der Möglichkeiten, dass keine Lampe brennt (5 über 0)=1; die Anzahl dass eine brennt (5 über 1)=5, usw.
Eine andere Herangehensweise ist: für jede Lampe gibt es 2 Möglichkeiten: brennt; brennt nicht. Bei 5 Lampen ergibt das 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5
vielen dank für die ausführliche erklärung jetzt ist es auch für mich logisch:)
um den ansatz wie kommt man drauf dass n =0 ist und ud 5 über k als Endergebnis 2hoch 5 ist. ich verstehs irgendwie nicht weil ich hab doch keine ahnung was k ist oder doch?