Mathe Graphen Hoch Tief Punkte?
Liebe Leser,
ich habe diese Mathe probe Aufgabe bekommen ich bräuchte hilfe wie ich vorgehen muss damit ich mich besser orientieren kann und somit auch bei ähnlichen Aufgaben keine Schwierigkeiten mehr habe . f(x)=27/125 x^3 -27/25 x^2 +5
PS:Tiefpunkt habe ich schon bestimmt 10/3.
Vielen Dank 🤩
Macht ihr das mit dem Differenzenqzotient oder mit der Ableitung?
Mit der Ableitung
3 Antworten
Du hast für f bereits die x-Stelle des Tiefpunkts bei x=10/3 ermittelt. Das jetzt in den Funktionsterm einsetzen, also f(10/3) ausrechnen und Du kommst auf y=1, d. h. der Tiefpunkt von f ist bei (10/3|1).
Der Tiefpunkt des verschobenen Graphen h ist offensichtlich bei (4|-1), also um 2/3-Einheiten nach rechts in x-Richtung und 2 Einheiten nach unten in y-Richtung verschoben, d. h. h(x)=f(x-2/3)-2, d. h. Du musst im Funktionsterm von f jedes x durch (x-2/3) ersetzen und den kompletten Term minus 2 rechnen, ergibt:
h(x)=27/125(x-2/3)³-27/25(x-2/3)²+3
Ableitung von f(x)=27/125 x³ -27/25 x² +5
ist f(x)' = 3 * 27/125 x² - 2 * 27/25 x
zweite Ableitung: f(x)'' = 2 * 3 * 27 / 125 x - 2 * 27/25
Für die Extremstellen gilt f(x)' = 0 = 3 * 27/125 x² - 2 * 27/25 x = 0
Wenn x = 0, dann haben wir eine Nullstelle, also ein Extremwert ist (0 | f(0)) = (0 | 5)
Wenn wir 0 in die zweite Ableitung einsetzen, erhalten wir - 2 * 27/25, also einen negativen Wert, damit ist es ein Hochpunkt, ein Maximum.
Sei x nun ungleich 0, dann dürfen wir durch x teilen und erhalten
0 = 3*27/125 x - 2*27/25 bzw. 3 * 27/125 x = 2*27/25
wir teilen allees durch 3*27/125 und erhalten
x = 2*27*125/(25 * 3 * 27) = 10/3
Setzen wir in f(x)'' ein und erhalten einen Wert größer 0, also ein Tiefpunkt. Diese Prüfung hätten wir uns auch sparen können, denn bei dieser Funktion gibt es recht offensichtlich einen Hoch- und einen Tiefpunkt, aber so ist es sauberer.
Als erstes musst du die Ableitung bilden. Dann setzt du die erste Ableitung gleich 0. Im Anschluss musst du die zweite Ableitung bestimmen und in f''(x) jedes deiner Ergebnisse einsetzen. Falls f''(x)>0: TP falls f"(x)<0: HP falls f"(x)=0 musst du das Vorzeichen wechsel Kriterium anwenden, dafür einen wert etwas größer als x und einen etwas kleiner als x wählen und schauen ob das Vorzeichen von f'(hier die Werte einsetzen) von - -> +: TP oder von + -> -: HP gewechselt ist, oder gleichgeblieben ist: Kein Extrempunkt.
Sollst du einene Extremstelle bestimmen: Fertig!
Bei Extremounkten:
Setze deine x werte in f(x) ein und schreibe die Punkte auf: P(x|f(x))