Mathe Funktion erstellen (Klasse 12)?
Was muss ich hier machen?
Ich bin komplett am verzweifeln und schiebe schon richtig Panik, weil ich es einfach nicht hinbekomme. Das Thema ist neu und ich weiß nicht was die Aufgabe von mir will.
Die Aufgabe:
Das Diagramm legt im Intervall (0; 20) eine quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt (20|30) und durch den Punkt (0|0) nahe. Bestimmen Sie mit diesen Daten eine passende Funktion für den Geschwindigkeitsverlauf in [0; 20]. Bestimmen Sie damit die Wegfunktion und die Länge der Stecke, die das Auto in den ersten 30 Sekunden zurückgelegt hat. Scheitelpunktform: f(x) = a (x – d)² + e
3 Antworten
Definition:Die Geschwindigkeit v ist der zurückgelegte Weg s pro Zeiteinheit t.
v=s/t → s=v*t wenn die Geschwindigkeit v=konstant ist
Analogie zur Mathematik → Rechteckfläche Ar=a*b
Merke:Der zurückgelegte Weg s ist die Fläche im im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (Fläche unter der kurve V(t)=..)
durchschnittliche Geschwindigkeit v=(s2-s1)/(t2-t1)
s1=zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t1
s2=zurückgelegter Weg zum Zeitpunkt t2
geht nun das Zeitintervall t2-t1 gegen NULL,so erhält man die
Momentangeschwindigkeit V(t)=ds/dt=S´(t) ist die 1.te Ableitung des Weges S(t)=.. nach der Zeit t
bei dir nun
1) Geschwindigkeits-Zeit-Funktion V(t)=.. aus dem Diagramm aufstellen
2) dann integrieren S(t)=∫V(t)*dt ergibt dann die
Weg-Zeit-Funktion S(t)=..
Scheitelpunktform der Parabel y=f(x)=a*(x-d)²+e
Scheitelpunkt hier Ps(20/30)
V(t)=a*(x-20)²+30 → maximale Geschwindigkeit e=vmax=30 m/s
P(0/0)
V(0)=0=a*(0-20)²+30 → a=-30/(-20)²=-0,075
V(t)=-0,075 m/s³*(t-20 s)²+30 m/s
zurückgelegter Weg S(t)=∫[-0,075*(t-20)²+30]*dt
S(t)=∫-0,075*(t-20)²*dt+30*∫*dt
S(t)=-0,075*∫(x-20)²*dt+30*t+C
Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´
Substitution (ersetzen) z=t-20 abgeleitet z´=dz/dt=1 → dt=dz/1
S(t)=-0,075*∫z²*dz/1+30*t+C
S(t)=-0,075*z^(2+1)*1/(2+1)+30*t+C
S(t)=0,025*(x-20)³+30*t+C
S=obere Grenze minus untere Grenze=S(to)-S(tu) mit tu=0 und to=30 s
S=[-0,025*(30-20)³+30*30]-[-0,025*(0-20)³+30*0]
S=(875) -(200)
S=675 m ist der zurückgelegte Weg zwischen tu=0 Sekunden bis to=30 Sekunden
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
V(t)=-0,075*(t-20)²+30
kannst auch zuerst die binomische Formel anwenden
(x-b)²=x²-2*b*x+b²
V(t)=-0,075*(t²-2*20*t+20²)+30 wenn du die Integration durch die
Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´ nicht kennst
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Da brauchst du nur abschreiben.
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Höhe=19 cm Breite=12 cm Dicke=4 cm
Du hast zwei Punkte für die quadratische Funktion. Weiterhin ist 20|30 der Scheitelpunkt, also ist dort das Maximum, da wir eine Beschleunigung und einen Abbremsvorgang darstellen.
Aus 0|0 folgt: f(0) = 0 = a ( 0 - d)² + e = ad² + e = 0
Aus 20|30 folgt: f(20) = 30 = a (20 - d)² + e
Aus der Scheitelpunktlogik folgt: f'(20) = 0
f'(x) = (a(x - d)² + e)' = 2a(x - d)
Wir setzen ein f'(20) = 0 = 2a(20 - d) = 40a - 2ad
Wir haben drei Unbekannte, a,d und e und drei Gleichungen. Also machbar.
Vielen Dank!