Warum wird interpretiert, dass der Flächeninhalt das gleiche aussagt wie die Abkühlung in den ersten fünf Minuten?

Guten Abend,

ich habe eine kleine Unklarheit bei folgender Aufgabe (grün umrandet) bei der Interpretation des Flächeninhaltes (rot markiert):

Hier steht ganz unten die Interpretation, welche ich aus den Lösungen übernommen habe. Jedoch verstehe ich nicht die Interpretation.

Warum wird interpretiert, dass der Flächeninhalt das gleiche aussagt wie die Abkühlung in den ersten fünf Minuten?

Wieso ist die Fläche auch gleich die Abkühlung in Grad?

Answer 1

[olupo]

Das ist halt so die Eigenschaft vom Integral. Beim Integral rechnest du dir ja die Stammfunktion aus. in dem Fall

$f\left(t\right)=\int g\left(t\right)\ dt$

Das ist "sozusagen" das bestimmte integral von t nacht t. (oder limes , ka der vergleic hängt sowiso ein bisschen). Beim Bestimten Integral integrierst du ja zuerst und setzt dann deine grenzen ein. Die Fläche unter der Kurve ist dann der Wert der Stammfunktion zum Zeitpunkt b. Das ist der Grundgedanke beim Integrieren

Answer 2

[Rhenane]

Vielleicht wird es klarer, wenn Du Dir bei den verschiedenen Funktionen die jeweiligen Einheiten von x- und y-Achse vor Augen führst.

Die Steigung einer Funktion (egal ob durchschnittliche oder momentane) berechnest Du ja immer, indem Du die y-Änderung durch die x-Änderung teilst. Die Einheiten der Achsen nimmt man dabei mit.

Hier bei Deiner Funktion f ist auf der y-Achse die Temperatur in Grad °C abgetragen und auf der x-Achse die Zeit in min., d. h. die Steigung hat die Einheit (y/x)=°C/min. (also auch die Ableitung g).

Mit dem Integral berechnet man die Fläche unter einem Graphen, und zwar Breite (x) mal Höhe (y). Bei der Funktion G (Stammfunktion von g) wäre das dann (y*x): °C/min * min = °C, d. h. die Einheit des Integrals ist °C.

Answer 3

[Halbrecht]

f(t) = -4.06e^(-0.07t)

int 0 to 5 ist -17.12

int o to 20 ist -43.69

.

Vergleiche mal mit den empirischen Daten . 

Was beschreibt der Wert des Integrals ganz offensichtlich ? 

.

g(t) die momentane Änderungsrate (sinkend) , von was ? Der Temperatur . Summiert man alle Raten auf durch Integrieren ist der Wert , den man erhält wieder in der urprünglichen Einheit C

Die Einheit beim Ändern war ja delta C pro Zeiteinheit