Mathe Berechnung von Körpern?

Könnt ihr mir bitte step by step helfen diese Aufgabe zu lösen? Ich möchte gerne diese Aufgabe nächste stunde vorstellen um meine mündliche Note in Mathe zu verbessern aber ich verstehe garnichts :(

Answer 1

[nobytree2]

a) Wir erhalten zwei Kegel. Die Formel für das Kegelvolumen ist 1/3 * Grundfläche * Höhe. Die Grundfläche ist pi * radius².

Bei Rotation um a) ist die Höhe a, der Radius der Grundfläche b, also

$\frac{1}{3}a\pi b^2=\frac{\pi}{3}4\cdot7^2$ Bei Rotation um b entsprechend

$\frac{1}{3}b\pi a^2=\frac{\pi}{3}7\cdot4^2$

b) Wenn es um die Hypotenuse gedreht wird, hat man - bildlich - zwei Kegel, deren Grundflächen identisch sind und aneinander liegen (Doppelkegel). Die Hypotenuse hat eine Länge von

$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$ Weiterhin müssen wir das Dreieck in zwei Aufteilen, wobei der Schnitt h durch den rechten Winkel geht und orthogonal zur Hypotenuse ist. Es gilt nach Pythagoras

$4^2=z^2+h^2\ \ und\ 7^2=\left(\sqrt{65}-z\right)^2+h^2$

bzw. $4^2-z^2=7^2-\left(\sqrt{65}-z\right)^2=7^2-65+2z\sqrt{65}-z^2$ $4^2=7^2-65+2z\sqrt{65}\to2z\sqrt{65}=32\ \to z=\frac{16}{\sqrt{65}}$

Die Höhe ist damit

$h^2=4^2-z^2=16-\frac{256}{65}\ \to h=\sqrt{16-\frac{256}{65}}$ Gedreht werden zwei Kegel mit derselben Grundfläche, nämlich

$\pi\cdot r^2=\pi h^2=\pi\cdot\left(16-\frac{265}{65}\right)$ Die Höhe über beide Doppelkegel hinweg ist ja Wurzel von 65, das ist die Hypotenuse

Damit können wir das Volumen des Doppelkegels berechnen:

$\frac{1}{3}\pi\cdot\left(16-\frac{256}{65}\right)\cdot\sqrt{65}$

Comments

[Rammstein53]

Klasse gelöst, nur eine Vereinfachung für die Höhe h: das Dreieck hat eine Fläche von 1/2*4*7 = 14. Die Fläche ergibt sich aber auch aus 1/2*c*h = 1/2*sqrt(65)*h = 14. Daraus folgt h = 28/sqrt(65).